Tom and matrix

Description

求 \(\sum_{i=x1}^{x2}\sum_{j=y1}^{y2}C[i][j]\%p\)。

Solution

组合数有一个式子：\(C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j]\)。

我们可以这样理解一下这个式子：这是一个前缀和，如果我们先枚举 j 再枚举 i，那么其实这个数组相当于每次加上一个与这一轮无关紧要的数。

而我们这道题迫切需要的就是前缀和的优化。

可以得出：

\[\sum_{i=x1}^{x2}C[i][j]=C[x2+1][j+1]-C[x1][j+1](y1<=j<=y2) \]

解释一下：\(C[x1][j+1]\) 就是 \(\sum_{i=1}^{x1-1}C[i][j]\)。前者同理。

Code

#include <cstdio>
typedef long long ll;

ll p, fac[100005];

int read() {
	int x = 0, f = 1; char s;
	while((s = getchar()) > '9' || s < '0') if(s == '-') f = -1;
	while(s <= '9' && s >= '0') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + (s ^ 48);
		s = getchar();
	}
	return x * f;
}

ll qkpow(ll x, ll y) {
	ll r = 1;
	while(y) {
		if(y & 1) r = r * x % p;
		x = x * x % p; y >>= 1;
	}
	return r;
}

ll C(const int n, const int m) {
	if(n < m) return 0;
	return fac[n] * qkpow(fac[m] * fac[n - m] % p, p - 2) % p;
}

ll Lucas(const int n, const int m) {
	if(n < m) return 0;
	if(! m) return 1;
	return Lucas(n / p, m / p) * C(n % p, m % p) % p;
}

void init() {
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 100000; ++ i) fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
}

int main() {
	int x1, x2, y1, y2; ll ans;
	while(~ scanf("%d %d %d %d %lld", &x1, &y1, &x2, &y2, &p)) {
		ans = 0; init();
		for(int i = y1; i <= y2; ++ i) ans = (ans + Lucas(x2 + 1, i + 1) - Lucas(x1, i + 1) + p) % p;
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}