题目
一群猴子要选新猴王。新猴王的选择方法是：让N只候选猴子围成一圈，从某位置起顺序编号为1~N号。从第1号开始报数，每轮从1报到M，凡报到M的猴子即退出圈子，接着又从紧邻的下一只猴子开始同样的报数。如此不断循环，最后剩下的一只猴子就选为猴王。请问是原来第几号猴子当选猴王？
输入格式：
输入在一行中给两个正整数N, M（1<= N,M ≤10000000）。
输出格式：
在一行中输出当选猴王的编号。
普通解法（暴力）
#include<stdio.h>
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
int num[1000];
for (int i = 0; i < n; i++)
num[i] = i + 1;
int i = 0,t = 0,count = 0;
while (1) {
if (num[i] != 0) {
if (count == n - 1)
break;
t++;
if (t == m) {
num[i] = 0;
t = 0;
count++;
}
}
i++;
if (i == n)
i = 0;
}
printf("%d",s+1);
return 0;
}
此方法很简单，在此不做详细阐述。
递归的思想求解（公式法）
#include<stdio.h>
int main()
{
int n, m, s = 0;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 2; i <= n; i++) {
s = (s + m) % i;
}
printf("%d",s+1);
return 0;
}
这个程序看起来很难理解，现在我就解释以下如何来的：
首先我们定义一个函数f(N,M)，用来表示，一共有N个猴子报数，每报到M淘汰掉那个猴子，最终函数值是最终胜利者的编号。
那么同理不难理解，f(N−1,M)表示，一共有N-1个猴子报数，每报到M时淘汰掉那个猴子，最终函数值是胜利者的编号。
那么递推公式就可以这样表示：f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
下面我来解释以下如何得到这个公式：
首先为了方便，我们简化以下题目，一共有11个猴子，从第1号开始报数，每轮从1报到3，凡报到3的猴子即淘汰。
下面我们用数字从0开始表示每一个猴子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10
首先我来告诉你，最后是6号猴子当了猴王，用函数表示即为f(11,3)=6，这样方便我们下面的讨论。
首先在刚开始时，头一个猴子编号为0，从它开始报数，第一轮被淘汰的是编号2的猴子。
淘汰后还剩下10个猴子，它们的编号依次为：
0、1、3、4、5、6、7、8、9、10
那么请注意，这时我们就可以这样理解：把第二轮报数的猴子当做队首，即就可以当做f(10,3)
我们画一张图来表示：（箭头为第二轮该第一个报数的猴子）
由于原来获胜者的编号为6，去掉了2号，也就是进行了一轮后，获胜者的绝对位置一定不变，也就是如下图：
那么我们把3号当做第一个报数的猴子，也就是f(10,3)，就会变成如下图所示：
那么就可以很清楚地看出来，因为我们知道了11个猴子时获胜者为6号，那么10个猴子时获胜者就为3号，二者相差3，也就是相差了一个M的值。
看起来很巧合，但其实这并不是巧合，而是必然，因为不难理解，每一轮都是往后移动M=3个猴子，第一轮移了3只猴子后，把第二轮的首变为0，那么后面的所有猴子对应的编号都应该减3，即减去M。
那么我们就可以得到这样一个算式：f(10,3)=f(11,3) – 3
我们就可以得到：f(11,3)=f(10,3)+3
由于f(10,3)表示猴子的编号为0-9，f(11,3)表示猴子的编号为0-10，那么假如f(10,3)=9，那么f(10,3)+3=12，此时已经超过了f(11,3)的猴子的最大编号，所以我们需要用取余的方式来规避这种错误，即：f(11,3)=(f(10,3)+3)%11
因为猴子是围成圆圈来报数的，所以这样写也完全符合题意。
那么我们就得到了一个最终的结论，即f(11,3)=(f(10,3)+3)%11。
我们就可以用递归的思想：如果我们想求f(11,3)的值，那么我们只要知道f(10,3)的值就行；如果我们想求f(10,3)的值，那么我们只要知道f(9,3)的值就行；如果我们想求f(9,3)的值，那么我们只要知道f(8,3)的值就行 … … 如果我们想求f(2,3)的值，那么我们只要知道f(1,3)的值就行。
那么显而易见，我们就证明了上面的递推公式的正确：f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
由题意，我们很容易可以知道，当只有一个猴子时，那么那只猴子自然就是猴王，也就是f(1,3)=0是一定的，由此我们就知道了这个递归的终止条件为f(1,3)=0。
所以让我们回到简化后的题目：求f(11,3)的值。
我们可以定义一个s和i的变量，s表示每个f(N,M)的值，i表示每次N的值，M的值是固定的3，那么当i=1时，即只有一个猴子，那么f(1,3)=0，即s=0（也就是把s初始化为0）。
然后i++后i=2，那么f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=1；
然后i++后i=3，那么f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=1；
然后i++后i=4，那么f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=0；
… …
直到i=11时，那么f(11,3)=(f(10,3)+3)%11=6；
此时循环终止，也就是for中应该写的循环终止条件为i<=11，
那么简化后的题目的代码应该这样：
#include<stdio.h>
int main()
{
int s = 0;
for (int i = 2; i <= 11; i++) {
s = (s + 3) % i;
}
printf("%d",s+1);
return 0;
}
最后的s+1是由于我们一直把第一个猴子标号为0，但实际上题目要求是第一个猴子标号为1，所以最后需要再加1。
那么再回到原题，是让我们求f(N,M)的值，很容易通过类比得出最终的代码：
#include<stdio.h>
int main()
{
int n, m, s = 0;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 2; i <= n; i++) {
s = (s + m) % i;
}
printf("%d",s+1);
return 0;
}
当然，这是把递归用for循环来写了，我们也可以把代码写成递归的形式：
#include<stdio.h>
int fun(int n,int m)
{
if(n==1)
return 0;
else
return (fun(n-1,m)+m)%n;
}
int main()
{
int n, m, s = 0;
scanf("%d%d",&n,&m);
s=fun(n,m);
printf("%d",s+1);
return 0;
}
注： 但是并不提倡大家用递归来写，因为数据太大，递归会占用太多的资源，在某些平台上编译会出现段错误。
