POJ 3469 Dinic 最小割

题意

传送门 POJ 3469

题解

白书说：“用最小的费用将对象划分成两个集合的问题，常常可以转换成最小割后顺利解决。”

考虑以模块为顶点，并且还有额外源点 $s$ 和汇点 $t$ 的图。总的花费

$\sum\limits_{i\in S}A_{i}+\sum\limits_{i\in T}B_{i}+\sum\limits_{a_{i}\in S,b_{i}\in T}w_{i}+\sum\limits_{b_{i}\in S,a_{i}\in T}w_{i}$

如果我们可以通过合适地建边使得花费的总和等价于割的容量的话，那么为了求最小花费只要求最小割就好了

考虑对应

$\sum\limits_{i\in S}A_{i}$

的边。是顶点属于 $S$ 时所产生的费用，只要从每个模块向 $t$ 连一条容量为 $A_{i}$ 的边就可以对应起来。
考虑

$\sum\limits_{a_{i}\in S,b_{i}\in T}w_{i}$

这是当 $a_{i}$ 属于 $S$ 而 $b_{i}$ 属于 $T$ 时所产生的费用，只要从模块 $a_{i}$ 向模块 $b_{i}$ 连一条容量为 $w_{i}$ 的边就可以对应起来。其余同理。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#define min(a,b)    (((a) < (b)) ? (a) : (b))
#define max(a,b)    (((a) > (b)) ? (a) : (b))
#define abs(x)    ((x) < 0 ? -(x) : (x))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define delta 0.85
#define eps 1e-5
#define PI 3.14159265358979323846
using namespace std;

#define MAX_V 20020
struct edge{
	int to, cap, rev;
	edge(int to, int cap, int rev) : to(to), cap(cap), rev(rev){}
};

vector<edge> G[MAX_V];
int level[MAX_V], iter[MAX_V];

void add_edge(int from, int to, int cap){
	G[from].push_back(edge(to, cap, G[to].size()));
	G[to].push_back(edge(from, 0, G[from].size() - 1));
}

void bfs(int s){
	memset(level, -1, sizeof(level));
	queue<int> que;
	level[s] = 0;
	que.push(s);
	while(!que.empty()){
		int v = que.front(); que.pop();
		for(int i = 0; i < G[v].size(); i++){
			edge &e = G[v][i];
			if(e.cap > 0 && level[e.to] < 0){
				level[e.to] = level[v] + 1;
				que.push(e.to);
			}
		}
	}
}

int dfs(int v, int t, int f){
	if(v == t) return f;
	for(int &i = iter[v]; i < G[v].size(); i++){
		edge &e = G[v][i];
		if(e.cap > 0 && level[v] < level[e.to]){
			int d = dfs(e.to, t, min(f, e.cap));
			if(d > 0){
				e.cap -= d;
				G[e.to][e.rev].cap += d;
				return d;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int max_flow(int s, int t){
	int flow = 0;
	for(;;){
		bfs(s);
		if(level[t] < 0) return flow;
		memset(iter, 0, sizeof(iter));
		int f;
		while((f = dfs(s, t, INF)) > 0){
			flow += f;
		}
	}
}

#define MAX_N 20000
#define MAX_M 200000
int N, M;
int A[MAX_N], B[MAX_N];
int a[MAX_M], b[MAX_M], w[MAX_M];

void solve(){
	int s = N, t = s + 1;
	for(int i = 0; i < N; i++){
		add_edge(i, t, A[i]);
		add_edge(s, i, B[i]);
	}
	for(int i = 0; i < M; i++){
		add_edge(a[i], b[i], w[i]);
		add_edge(b[i], a[i], w[i]);
	}
	printf("%d\n", max_flow(s, t));
}

int main(){
	while(~scanf("%d%d", &N, &M)){
		for(int i = 0; i < N; i++) scanf("%d%d", A + i, B + i);
		for(int i = 0; i < M; i++){
			scanf("%d%d%d", a + i, b + i, w + i);
			--a[i], --b[i];
		}
		solve();
	}
	return 0;
}