二解 ZOJ3203 Light Bulb（数学和三分）

题目传送门：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3203
题目大意是：
　　相比 wildleopard 的家，他的弟弟 mildleopard 比较穷。他的房子是狭窄的而且在他的房间里面仅有一个灯泡。每天晚上，他徘徊在自己狭小的房子里，思考如何赚更多的钱。有一天，他发现他的影子的长度随着他在灯泡和墙壁之间走到时发生着变化。一个突然的想法出现在脑海里，他想知道他的影子的最大长度。
　　【输入】
　　输入文件的第一行包含一个整数 T ，表示测试数据的组数。
　　对于每组测试数据，仅一行，包含三个实数H，h和D,H表示灯泡的高度，h表示 mildleopard 的身高，D 表示灯泡和墙的水平距离。
【输出】
　　输出文件共 T 行，每组数据占一行表示影子的最大长度，保留三位小数。
【样例输入】
3
2 1 0.5
2 0.5 3
4 3 4
【样例输出】
1.000
0.750
4.000
【提示】
T≤100，10⁻²≤H,h,D≤10³，10^(−2)≤H−h。
一、数学分析：我们发现，人的影子有三种状态：
　　1.影子全在地上。
　　2.影子一部分在地上，一部分在墙上。
　　3.影子全在墙上。
就情况1来说：当人从灯下往墙的方向走时，影子是逐渐在变长的直到如下图所示。也就是灯泡，人头顶和墙角底端是一条直线时，这时是影子在地上的最长，按照数学的相似三角形计算，也就是人距离灯泡D-Dh/H时为此种状态的最大。
情况2来说：在当x(x为与灯泡的距离)在（l1 , D)区间内时，影子是一部分在地上，一部分在墙上的.,通过计算设人与灯泡的距离为x,墙上的影子长度为y，
　　则(h-y)/(H-y) = (D - x)/D,
　　转化成含有x的函数表达y后，y = H - D(H-h)/x.
　　因为Ｌ＝ y　+ D - x
　　所以L = D + H - x - D*(H-h)/x.
　　其中后面的含有x的部分是对勾函数（f(x) = x + D*(H-h)/x）.
　　因此L = D+H - f(x)，当f(x)有最小值时，L有最大值。根据对勾函数的最值公式，可以知道最大值L=D+H- 2sqrt(D(H-h)).
情况3：影子全在墙上时，影长为h.
情况分析了后，那么这道看似特别难的题就这样变成了数学推算和分支语法的题了，具体代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int main(){
    int z;
    double H,h,D;
    cin >> z;
    for(int i=0;i<=z-1;i++){
        cin >> H>> h >> D;
        double x1 = sqrt(D*(H-h));
        double xx0 = D*h/H;
        if( x1 >=D || x1 <=D - xx0){  //情况1与3
            if(h>=xx0)   printf("%.3lf\n",h);
            else         printf("%.3lf\n",xx0);
            
        }
        else if(x1 > D - xx0 &&x1 < D){ //情况2
	            printf("%.3lf\n",D+H-2*x1);
	        }
        }
    return 0;
}

二、三分答案
介于上面的分析，我们知道此问题的解一定在区间[D-Dh/H,D]之间，并且已经分析出L = D + H - x - D(H-h)/x.是一个对勾函数的一部分，它是一个有单个峰值的图像，可以采用三分的方式，逐渐逼近峰值求得解。因此使用三分模板来解，如下所示：

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;
double H,h,D;
double cal(double x){
    return D-x+H-D*(H-h)/x;
}
int main(){
    double left , right;
    int t;
    cin >> t;
    while(t)
    {
          cin >> H >> h >> D;
          left = D - D*h/H;
          right = D;
          while(right - left > 1e-10){
            double lmid = left + (right - left)/3;
            double rmid = right - (right - left)/3;
            if(cal(lmid) < cal(rmid)) left = lmid;
            else right = rmid; 
          }
          printf("%.3lf\n",cal(left));
          t--;
    }    
    return 0;
}

以前只想到用三分写此题，今年小白们数学好，硬是拿数学来分析得到了这个数学方法，教学相长也！