WEEK 8 A 区间选点II

题目描述

给定一个数轴上的 n 个区间，要求在数轴上选取最少的点使得第 i 个区间 [ai, bi] 里至少有 ci 个点。

输入格式

输入第一行一个整数 n 表示区间的个数，接下来的 n 行，每一行两个用空格隔开的整数 a，b 表示区间的左右端点。1 <= n <= 50000， 0 <= ai <= bi <= 50000 并且 1 <= ci <= bi - ai+1。

输出格式

输出一个整数表示最少选取的点的个数。

样例输入

5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1

样例输出

6

模型：差分约束

差分约束系统是用来解决一种特殊的n元一次不等式组，它包含n个变量与m个约束条件。
每个约束条件是两个变量的差构成的，如xi-xj<=ck,其中ck为常数。
我们是要求出一组解，x1=a1,x2=a2……x3=a3使得所有约束条件得以满足。
对于系统中任一不等式xi-xj<=ck,可转化为xi<=xj+ck,假设xj为0，则我们需要在多个不等式中找到最小的ck来限制xi的条件，即我们需要在多个xi<=xj+c中找到最小的c，因此这里可以把xi,xj想象成图中的点，ck为边权，我们需要找到所有点对于某一基准点的最短路径，这样就把差分模型转化为了最短路模型。
同理对于xi-xj>=ck的模型可以采用最长路模型来解决。

思路

设sum[x]为x点在[0,x]区间内选的点数，对于每个区间[a,b]内选c个点，则有sum[a]-sum[b-1]>=c，为了使sum有意义，对于每个数i，存在0<=sum[i+1]-sum[i]<=1;
这样得到了该题所有的不等式，将其都转换为>=的不等式，接下来则使用差分模型即可。
最终输出所有区间最右端点ans的sum[ans]。

代码

#include "pch.h"
#include <iostream>
#include<string.h>
#include <queue>
using namespace std;
const int inf = 1e9;
const int N = 50005;
const int M = 1e6 + 5;
int tot, ans;
int head[N], vis[N], dis[N];
struct Edge 
{
	int to, next, w;
}e[M];

void add(int v, int t, int w)
{
	e[++tot].to = t, e[tot].w = w;
	e[tot].next = head[v];
	head[v] = tot;
}

void spfa(int s)
{
	queue<int>q;
	for (int i = 0; i <= ans; i++)
		dis[i] = -inf, vis[i] = 0;
	q.push(s);
	vis[s] = 1;
	dis[s] = 0;
	while (!q.empty())
	{
		int u = q.front(); q.pop();
		vis[u] = 0;
		for (int i = head[u]; i; i = e[i].next)
		{
			int v = e[i].to;
			if (dis[v] < dis[u] + e[i].w)
			{
				dis[v] = dis[u] + e[i].w;
				if (!vis[v])
				{
					q.push(v);
					vis[v] = 1;
				}
			}
		}
	}
}
int main() 
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	memset(head, 0, sizeof(head));
	tot = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int u, v, w;
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
		add(u, v + 1, w);
		ans = max(ans, v + 1);
	}
	for (int i = 1; i <= ans; i++)
		add(i - 1, i, 0), add(i, i - 1, -1);
	spfa(0);
	printf("%d", dis[ans]);
	return 0;
}