除运算是什么?(如果已经会了的请直接跳过)
要理解除操作，我们首先要引入“象集”这个概念。
象集
其实象集很简单，就跟我们学过的函数对应关系差不多,只不过函数是“一对一”或者“多对一”，而象集恰好相反，是“一对多”。
引入一个例子看看。假设我们有一张学生选课表SC(sno, cno, grade)，其中sno的学生的学号，cno是课程号，grade是分数。这张表记录了学生选修某门课的成绩。
| sno | cno | grade |
|---|---|---|
| 2020001 | 001 | 93 |
| 2020001 | 002 | 95 |
| 2020001 | 003 | 90 |
| 2020002 | 001 | 98 |
| 2020002 | 003 | 87 |
| 2020003 | 002 | 75 |
（备注：一共只有三门选修课：“001”，“002”，“003”）
我们不给出“象集”的任何定义，先直接求出象集，求完之后，你也就明白了，注意前面说的一对多的关系。
2020001的象集{（001,93），（002,95）， （003,90）}
2020002的象集{（001,98），（003,987）}
2020003的象集{（002,75）}
除运算
有了象集的概念后，我们现在来理解“除运算”。假设我们有两个关系R(X,Y)和关系S(Y,Z)，那么
R÷S = { tr[X] | tr∈R ∧ ∏Y(S)⊆Yx } 其中Yx为x在R中的象集。
是不是懵逼了？什么鬼东西？
其实啊，这都是纸老虎，没那么难！我们只需要从列（属性）和行（元组）来理解就可以了。
列（属性）：R ÷ S得到的新的关系（表）,它的列是从R中的列中去掉R和S相交的列。
行（元组）：R中每一个x对应的象集应该包含S的投影
这就是“除运算”，这么说可能还是有些抽象，我们继续用上面给出的学生选课例子来研究，为了方便我们暂时先将SC的grade属性去掉，然后我们再加一个课程关系C（cno,cname）
SC:
| sno | cno |
|---|---|
| 2020001 | 001 |
| 2020001 | 002 |
| 2020001 | 003 |
| 2020002 | 001 |
| 2020002 | 003 |
| 2020003 | 002 |
C:
| cno | cname |
|---|---|
| 001 | 操作系统 |
| 002 | 计算机网络 |
| 003 | 数据结构 |
我们通过这两个表求SC÷C，我们从列和行两个步骤来进行求解。
第一步（列）：SC和C公共的列是cno，所以R÷S必然只剩下R中的sno列，故列先被确定下来了
SC÷C
| sno |
|---|
| 2020001 |
| 2020001 |
| 2020001 |
| 2020002 |
| 2020002 |
| 2020003 |
第二步（行）：
C的投影为(001,002,003)，而SC中sno的象集中包含(001,002,003)的只有2020001，故，行也被确定下来了
SC÷C
| sno |
|---|
| 2020001 |
聪明的你可能已经发现，SC÷C表示的含义是“查询选修了全部课程的学生”，其实除操作非常适合用于求“至少使用了…的全部”之类的查询
落地到SQL语句的实现
我们刚刚讨论了除操作的关系代数，那么怎么用SQL语句来表示呢?事实上，sql语言并没有定义除操作，甚至连全称量词都没有，但是有存在量词EXISTS 和 NOT EXISTS,所以通常的思路就是将全程量词转变为存在量词来实现除操作。这种也是大多数教材普遍的讲法，但是我们今天不用这种方法，因为那种方法有些绕，使得我们很容易看懂别人写的，但是让自己写却写不出来。所以我们用另一种非常好理解的方式：从除操作的定义出发来解决，不过这要求我们知道什么是右外连接，不用慌，活着就是为了折腾，我都为你准备好了。
外连接 & 右外连接
什么是“外连接”呢？这恐怕得从“连接（严格来讲应该是自然连接）”说起！我们还是使用上面的SC表和C表，注意表的变化！
SC:
| sno | cno |
|---|---|
| 2020001 | 001 |
| 2020001 | 002 |
| 2020001 | 003 |
C:
| cno | cname |
|---|---|
| 001 | 操作系统 |
| 002 | 计算机网络 |
| 003 | 数据结构 |
| 004 | 计算机组成原理 |
当我们对两张表做连接的时候，我们会将SC和C中cno相等的元组拼接起来，于是得到新的关系
SC∞C:
| sno | cno | cname |
|---|---|---|
| 2020001 | 001 | 操作系统 |
| 2020001 | 002 | 计算机网络 |
| 2020001 | 003 | 数据结构 |
细心的你一定发现了，计算机组成原理这么课因为没人选，所以连接运算时就丢失了，这就是所谓的“悬浮元组”。为了让悬浮元组也出现，于是人们就折腾出了外连接、左外连接、右外连接，我们这里直接说右外连接吧。
当C中的元组的cno与SC中的元组的cno没有对应关系的时候，我们不丢弃这个选组，仍然将其显示出来，用NULL填充没有匹配的字段，也就是下面这样：
SC∝C:
| sno | cno | cname |
|---|---|---|
| 2020001 | 001 | 操作系统 |
| 2020001 | 002 | 计算机网络 |
| 2020001 | 003 | 数据结构 |
| NULL | 004 | 计算机组成原理 |
了解了右外连接后我们就可以利用它这个性质来做除运算了。我们再次使用上面的例子（注意SC和C的变化）
SC:
| sno | cno | grade |
|---|---|---|
| 2020001 | 001 | 93 |
| 2020001 | 002 | 95 |
| 2020001 | 003 | 90 |
| 2020002 | 001 | 98 |
| 2020002 | 003 | 87 |
| 2020003 | 002 | 75 |
C:
| cno | cname |
|---|---|
| 001 | 操作系统 |
| 002 | 计算机网络 |
| 003 | 数据结构 |
现在我们求选修了全部课程的学生的学号
我们先写关系代数：
① 全部课程的课程号：∏cno（C）
②除：SC ÷ ∏cno（C）
③投影取学号:∏sno（SC ÷ ∏cno（C））
关系代数很容易写出，但是SQL语句稍微有些复杂，现在我们就用外连接来实现。
SQL语句
SELECT DISTINCT sno
FROM SC a
WHERE NOT EXISTS(
SELECT * FROM
(SELECT sno, cno FROM SC b WHERE a.sno = b.sno) x
RIGHT OUTER JOIN
(SELECT cno FROM C) y
ON x.cno = y.cno
WHERE x.sno IS NULL
);
莫慌，我来解释一下这条SQL语句。拿数据说话，注意我调整了一下
SC:
| sno | cno | grade |
|---|---|---|
| 2020002 | 002 | 75 |
| 2020001 | 001 | 93 |
| 2020001 | 002 | 95 |
| 2020001 | 003 | 90 |
C:
| cno | cname |
|---|---|
| 001 | 操作系统 |
| 002 | 计算机网络 |
| 003 | 数据结构 |
外层循环先取出一条记录 SELECT DISTINCT sno FROM SC a :（2020002， 002， 75）
我们拿到这个学生的学号2020002，然后找出他选修的所有课程：SELECT sno, cno FROM SC b WHERE a.sno = b.sno：只有一门课002
然后用002与所有课程做外连接，得到如下的结果：
| sno | cno |
|---|---|
| NULL | 001 |
| 2020002 | 002 |
| NULL | 003 |
显然，有两个sno为空了，所以NOT EXISTS不通过，2020002不是选修了全部课程的学生
以同样的方式对2020001操作得到下面的结果
| sno | cno |
|---|---|
| 2020001 | 001 |
| 2020001 | 002 |
| 2020001 | 003 |
sno没有NULL，所以2020001是选修了全部课程的学生,将其学号输出。
