《数值分析》学习笔记 ·003——数值计算中应该注意的几个问题

一、选用算法的原则

原则如下：

• 尽量避免两个相近数相减
• 尽量简化运算步骤、减少运算次数
• 尽量防止大数“吃掉”小数
• 尽量选用数值稳定性好的算法

1、避免两个相近数相减

举几个例子：

• 当 $x$很大时，将算式 $\frac{1} {x} - \frac {1} {x+1}$换为 $\frac {1} {x(x+1)}$
• 当 $x$很大时，将算式 $\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$换成 $\frac {1} {\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$
• 当 $x_1$、 $x_2$很接近时，将算式 $\lg x_1 - \lg x_2$换成 $\lg \frac {x_1} {x_2}$

2、简化运算步骤、减少运算次数

举个例子：

• 计算多项式函数 $p_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x + a_0$时，可以写成 $p_n(x) = (\ldots ((a_nx + a_{n-1})x + a_{n-2})x + a_{n-3} \ldots + a_1)x + a$
  这也是秦九韶算法（递推算法），可以按照下列公式计算： $\begin{cases} u_n = a_n \\ u_k = xu_{k+1} + a_k & {(k = n-1, n-2, \cdots, 1, 0)} \\ p_n(x)=u_0 \end{cases}$

3、防止大数“吃掉”小数

为了防止出现“机器零”，也可以给每个数乘一个大的因子，例如乘以10，最后再计算原数值。

4、选用数值稳定性好的算法

举个例子：

• 计算积分 $I_n = \int _0^1 x^ne^{x-1} \, dx (n = 0, 1, 2, \cdots)$
  如果采用下面的递推算法，虽然 $I_0$的近似值误差很小，但是当 $n$很大的时候计算结果往往失真严重，这样的算法，称为数值不稳定的算法。 $\begin{cases} I_0 = 1 - e^{-1} \\ I_n = 1 - nI_{n-1} \end{cases}$
  因此应该采用这样的算法： $I_{n-1} = \frac {1} {n} (1 - I_n)$

二、算法稳定性评估

一个算法稳定性的判断，关键是要推导出误差的传播公式。若误差在计算过程中变化大就是不稳定的，否则就是稳定的。