算法分析设计实践——投资问题

1.问题

设m元钱，n项投资，函数f_i（x）表示将x元投入第i项项目所产生的相依 I = 1 , 2 …. N

问：如何分配这m元钱，使得投资的总效益最高。

2.解析

1.我们设dp[i][j]为前i个项目花费j元所能得到的最大收益

2.假设我们分配个第i个项目k元, 那么实际上前i-1个项目一共得到了j – k元

因此 dp[i][j] 的最优状态 可以由 dp[I - 1][j - k] + f_i (k)中的最优子决策得到。

3.设计

     for (int i = 1; i <= n; ++i)

    {

        for (int j = 0; j <= m; ++j)

        {

            for (int k = 0; j + k <= m; ++k)

            {

                dp[i][j + k] = max(dp[i - 1][j] + val[i][k], dp[i][j + k]);

                /*

                我们在前i个项目已经花了j+k万元

                在第i个项目花了k万元

                dp[i][j + k] 就可以后 dp[i - 1][j] + val 转移得到

                所以有转移方程式：dp[i][j + k] = max(dp[i - 1][j] + val[i][k], dp[i][j + k]);

                */

            }

        }

    }

4.分析

时间复杂度 ： O（n * m * m）

空间复杂度 ： O （n * m）

5.源码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<string.h>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<iostream>
 5 using namespace std;
 6 
 7 
 8 int n, m; // n代表项目的数量 , m代表投资的金额
 9 int val[1000][1000]; // 用户存储给第i个项目投资x万元，能够获得val[i][x]万元的收益
10 int dp[1000][1000] = {0}; // dp[i][j]表示到第i个项目的时候已经花费了j万元的最大收益
11 int main()
12 {
13     
14     scanf("%d %d", &n, &m); 
15     for (int i = 1; i <= n; ++i)
16     {
17         for (int j = 0; j <= m; ++j)
18         {
19             scanf("%d", &val[i][j]); // 对第i个项目投资j万元的收益为val[i][j]
20         }
21     }
22     
23     for (int i = 1; i <= n; ++i)
24     {
25         for (int j = 0; j <= m; ++j)
26         {
27             for (int k = 0; j + k <= m; ++k)
28             {
29                 dp[i][j + k] = max(dp[i - 1][j] + val[i][k], dp[i][j + k]);
30                 /*
31                 我们在前i个项目已经花了j+k万元
32                 在第i个项目花了k万元
33                 dp[i][j + k] 就可以后 dp[i - 1][j] + val 转移得到
34                 所以有转移方程式：dp[i][j + k] = max(dp[i - 1][j] + val[i][k], dp[i][j + k]);
35                 */
36             }
37         }
38     }
39     cout << dp[n][m] << endl;
40     return 0;
41 }
42 
43 
44 /*
45 样例输入：
46 4 5
47 0 11 12 13 14 15
48 0 0 4 10 15 20
49 0 2 10 30 32 40
50 0 20 21 22 23 24
51 样例输出：
52 61
53 */

完整代码

https://github.com/BambooCertain/Algorithm.git