【数据结构】C++实现之二叉树结构(一)

1. 概念

1.1 二叉树的定义
二叉树( Binary Tree)是n(n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成，且具有以下特点：

1.2 二叉树的特点
1）每个结点最多有两颗子树，结点度最大为二
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒
3）即使某结点只有一子树，也要区分左右子树
4）具有5种形态：空二叉树、只有一个根节点、根节点只有左子树、根节点只有右子树、根节点既有左子树也有右子树

1.3 特殊的二叉树
1）斜树：所有结点只有左子结点或只有右子结点
2）满二叉树：所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。就是完美圆满的意思，关键在于树的平衡
在这里插入图片描述
3）完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树，反过来不一定成立。 【看着树的示意图，心中默默给每个结点按照满二二叉树的结构逐层顺序编号，如果编号出现空档，就说明不是完全二叉树，否则就是】
在这里插入图片描述
https://www.cnblogs.com/polly333/p/4740355.html

2. 二叉树的性质

2.1 一般二叉树性质
1）在二叉树的i层上，至多有2^i-1个节点(i>=1)
2）深度为K的二叉树上最多有2^k-1个结点（k>=1)
3）对于任何一棵二叉树T,如果叶节点个数为n0，度数为2的节点个数为n2，则有: n0 = n2 + 1 在这里插入图片描述
终端结点数其实就是叶子结点数，而一-棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或2的结点数了，我们设n1为度是1的结点数。则树T结点总数n=no+n1+n2。

2.2 完全二叉树特有性质
1）具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2 n]+1 ([x]表示不大于x的最大整数
2）如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i（1<=i<=n）有：

1.如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲节点为[i/2]，向下取整
2.如果2i>n那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i
3.如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1

在这里插入图片描述

3. 二叉树的存储结构

3.1 顺序存储
1）由于二叉树的特殊性，使用顺序结构也可以实现。但又对于另一些特殊二叉树，这种方式又有点浪费空间
在这里插入图片描述
3.2 链式二叉树
1）指针域以及两个孩子域

在这里插入图片描述

#define MAXSIZE 100
typedef int ElemType;
struct BiTree{
	ElemType data;       //数据域
	BiTree *leftchild;   //左指针域
	BiTree *rightchild;  //右指针域
};

4. 二叉树的遍历

4.1 遍历分类及其原理
二叉树的遍历( traversing binary tree )是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
1）前序遍历：若二又树为空，则返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树【根-左-右】
2）中序遍历：若二又树为空，则返回，否则先中序遍历左子树，然后访问根结点，再中序遍历右子树【左-根-右】
3）后序遍历：若二又树为空，则返回，否则先后序遍历左子树，然后后序遍历右子树，再访问根【左-右-根】
4）层序遍历：自根结点开始，自上而下，逐层遍历
在这里插入图片描述

1、已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定1棵二叉树
2、已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定1棵二叉树

4.2 遍历二叉树的实现

#define MAXSIZE 100
typedef int ElemType;
struct BiTree{
	ElemType data;       //数据域
	BiTree *leftchild;   //左指针域
	BiTree *rightchild;  //右指针域
};
typedef BiTree  *BiTreeptr;

//二叉树前序遍历
void PreoderBiTree(BiTreeptr t)
{
	if (t == NULL)
		return;
	printf("%d ", (t->data));
	PreoderBiTree(t->leftchild); // 遍历左树
	PreoderBiTree(t->rightchild); // 遍历右树
}



//二叉树中序遍历
void InoderBiTree(BiTreeptr t)
{
	if (t == NULL)
		return;
	InoderBiTree(t->leftchild); // 遍历左树
	printf("%d ", (t->data));
	InoderBiTree(t->rightchild); // 遍历右树
}


//二叉树后序遍历
void PostoderBiTree(BiTreeptr t)
{
	if (t == NULL)
		return;
	PostoderBiTree(t->leftchild); // 遍历左树
	PostoderBiTree(t->rightchild); // 遍历右树
	printf("%d ", (t->data));
}

5. 二叉树的建立

1）那么我们如何在内存中生长一棵二叉链表的二叉树呢？ 需要进行扩展
在这里插入图片描述

//以前序遍历方式生成二叉链的二叉树
void CreateBiTree(BiTreeptr *t)
{
	char ch;     
	cin >> ch;     //ch存储的是字符的ASCII码，以整形存储
	cout << ch << endl;
	if (ch == '#')
		*t = NULL;
	else
	{
		*t = new BiTree;
		if (!*t)
			exit(OVERFLOW);
		(*t)->data = ch;           //生成根节点
		CreateBiTree(&(*t)->leftchild);  //构造左子树
		CreateBiTree(&(*t)->rightchild); //构造右子树
	}
}

kimicren

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