BZOJ3669魔法森林——LCT维护最小生成树

Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。
魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。
只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。
由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。
Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】

4 5

1 2 19 1

2 3 8 12

2 4 12 15

1 3 17 8

3 4 1 17

【输入样例2】

3 1

1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】

32

【样例说明1】

如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；

如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；

如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；

如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。

综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。

---

这道题要求最小的生成树，然而是对于a和b最大值的和最小。刚开始我想的是二分，然而好像并没有什么特别优秀的check的方法，然后就去借鉴了网上的题解，发现用一种特别巧妙的方法。

我们先按照a的大小sort一遍，然后我们就进行最小生成树。我们要用LCT动态维护最小生成树，我们每次枚举每一条边，并用并查集维护，如果当前两点并不在同一个并查集中，则link这两个点。否则我们找出这条边两个点联通块中b最大的边，如果这条边的b小于目前插入的边的b，就不插入这条边。否则cut掉找出的边，再link上这条边即可。每次如果1和n在同一个联通块里，就把ans和当前的a和查询的最大的b相加取min。（由于按照a排序过，所以最大的a就是当前边的a）。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 200005
using namespace std;
int read(){
    char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
struct LCT{
    int fa[MAXN],son[MAXN][2],maxi[MAXN],rev[MAXN],val[MAXN],sta[MAXN];
    void up(int k){
        maxi[k]=k;
        if(val[maxi[son[k][0]]]>val[maxi[k]]) maxi[k]=maxi[son[k][0]];
        if(val[maxi[son[k][1]]]>val[maxi[k]]) maxi[k]=maxi[son[k][1]];
    }
    void revers(int k){
        swap(son[k][0],son[k][1]);
        rev[k]^=1;
    }
    void down(int k){
        if(rev[k]){
            revers(son[k][0]);
            revers(son[k][1]);
            rev[k]=0;
        }
    }
    int isroot(int k){
        return (son[fa[k]][0]!=k)&&(son[fa[k]][1]!=k);
    }
    void rotate(int k){
        if(isroot(k)) return;
        int f=fa[k],gran=fa[f],d=(son[f][1]==k),w=son[k][d^1];
        if(!isroot(f)) son[gran][son[gran][1]==f]=k;
        son[k][d^1]=f;son[f][d]=w;
        if(w) fa[w]=f;fa[f]=k;fa[k]=gran;
        up(f);up(k);
    }
    void splay(int k){
        int y=k,z=0;
        sta[++z]=y;
        while(!isroot(y)) sta[++z]=y=fa[y];
        while(z) down(sta[z--]);
        while(!isroot(k)){
            y=fa[k];z=fa[y];
            if(!isroot(y)) rotate((son[y][1]==k)^(son[z][1]==y)?k:y);
            rotate(k);
        }
        up(k);
    }
    void access(int k){
        int y=0;
        do{
            splay(k);son[k][1]=y;up(k);y=k;k=fa[k];
        }while(k);
        up(k);
    }
    void makeroot(int k){
        access(k);splay(k);
        revers(k);
    }
    void split(int x,int y){
        makeroot(x);access(y);
        splay(y);
    }
    void link(int x,int y){
        makeroot(x);fa[x]=y;
        splay(x);
    }
    void cut(int x,int y){
        split(x,y);
        fa[x]=son[y][0]=0;
        up(y);
    }
    int query(int x,int y){
        split(x,y);
        return maxi[y];
    }
}T;
struct node{
    int x,y,la,lb;
}F[100005];
int cmp(node a,node b){
    return a.la<b.la;
}
int n,m,f[50005],ans=2e9;
int find(int x){
    if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);
    return f[x];
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        F[i]=(node){read(),read(),read(),read()};
    }
    sort(F+1,F+1+m,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++) T.val[n+i]=F[i].lb;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int fx=find(F[i].x),fy=find(F[i].y);
        if(fx!=fy){
            T.link(F[i].x,n+i);T.link(F[i].y,n+i);
            f[fy]=fx;
        }
        else{
            int p=T.query(F[i].x,F[i].y);
            if(T.val[p]>F[i].lb){
                T.cut(F[p-n].x,p);T.cut(F[p-n].y,p);
                T.link(F[i].x,n+i);T.link(F[i].y,n+i);
            }
        }
        if(find(1)==find(n))
          ans=min(ans,F[i].la+T.val[T.query(1,n)]);
    }
    if(ans!=2e9) printf("%d",ans);
    else printf("-1");
    return 0;
}