相机内参的物理意义

相机内参的物理意义

把相机坐标系下3D空间点投影到像素坐标系中，相机内参 $K$:
$\left ( \begin {array}{ccc} \alpha f & 0 & c_x \\ 0 & \beta f & c_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin {array}{ccc} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )$

$f$的单位为米， $\alpha,\beta$的单位为像素/米，所以 $f_x,f_y$的单位为像素。

相机内参的变化

1. 问题描述：如果一部相机的分辨率变为原来的 $n$倍而其他地方不变，那么它的内参将如何变化？
   结论： $f'_x = nf_x, \quad f'_y = n f_y, \quad c'_x = nc_x, \quad c'_y = nc_y$
2. 数学推导
   以下函数把相机坐标系下3D空间点 $P(X, Y, Z)$投影到像素坐标系中：
   $(X, Y, Z) \rightarrow (u, v, 1)$
   $Z \left( \begin{array}{ccc} u \\ v \\ 1 \end{array} \right) = \left ( \begin {array}{ccc} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{ccc} X \\ Y \\ Z \end{array} \right ) = KP.$

• 相机坐标系到成像平面的变换
  由相机坐标系到像素坐标系的变换，先要经过相机坐标系到成像平面的变换，空间点 $P$在成像平面的投影点的坐标为 $P'(X', Y')$:
  $(X, Y, Z) \rightarrow (X', Y')$
  $\frac{Z}{f} = \frac{X}{X'} = \frac{Y}{Y'}$
  把 $X', Y'$放到等式左侧，整理得
  $X'=f \frac{X}{Z}, \quad Y' = f\frac{Y}{Z}$

Note：X’, Y’是经过等价变换后的坐标，即将相机成像平面上点的坐标对称地放到相机前方。

• 成像平面到像素坐标系的变换
  像素坐标系通常的定义方式是：原点 $o$位于图像的左上角， $u$轴向右与 $x$轴平行， $v$轴向下与 $y$轴平行。
  像素坐标系与成像平面之间，相差了一个缩放和一个原点的平移。设像素坐标在 $u$轴上缩放了 $\alpha$倍，在 $v$轴上缩放了 $\beta$倍。同时，原点平移了 $[c_x, c_y]^T$。那么
  $\begin{cases} u = \alpha X' + c_x \\ v = \beta Y' + c_y \end{cases}$
  令 $f_x = \alpha f, \quad f_y = \beta f$可得
  $\begin{cases} u = f_x \frac{X}{Z} + c_x \\ v = f_y \frac{Y}{Z} + c_y \end{cases}$
• 分辨率改变
  当分辨率变为原来的n倍时，像素坐标变化为
  $(u,v) \rightarrow (u',v')$
  $\begin{cases} u' = nu = nf_x \frac{X}{Z} + nc_x = n \alpha f \frac{X}{Z} + nc_x \\ v' = nv = nf_y \frac{Y}{Z} + nc_y = n \alpha f \frac{Y}{Z} + nc_y \end{cases}$
  由上式可得结论：相机分辨率变为原来的n倍时，相机内参变为原来的n倍，即：
  $f'_x = nf_x, \quad f'_y = n f_y, \quad c'_x = nc_x, \quad c'_y = nc_y$
  因为相机焦距 $f$固定不变，因此可得：
  $\alpha' = n \alpha, \quad \beta' = n\beta, \quad c'_x = nc_x, \quad c'_y = nc_y$