【题目】一套全场爆零的好题之却被老师逮个正着

不知道谁给了没有看懂B题题面的我勇气滚去看C题。
本人的做法跟wangdy类似。（%%%真正的AK巨佬wangdy）

题目大意

同学们在教室传答案，却被老师逮个正着。
全班共有 $n$个同学，一学期共有 $2^n$次考试，每次考试参与传答案的同学都不完全相同。老师每次考试有一半的概率记录这次考试参与传答案的同学名单，也有一半的概率当做什么也没发生。到了期末，老师检查一下自己记下的名单，找出每次都参与了传答案的同学，作为这学期的始作俑者。特别的，如果老师一学期没有记录任何一次考试的传答案名单，则没有学生是始作俑者。
老师对第 $i$个学生的惩罚系数是正整数 $a_i$。期末抓出始作俑者之后，算出始作俑者人数 $x$和最大的惩罚系数 $y$，对全班施加的惩罚量 $z=xy$。特别的，如果没有学生是始作俑者，惩罚量为 $0$。
求期末惩罚量的期望 $E(z)$ 。为了方便，输出 $E(z)\times 2^{2^n}\mod 998244353$。

$2\leqslant n\leqslant 2^{12}$。

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思路

nodgd造得一手好数据，本人n方做法跑了4s。

一共有 $2^n$次考试，每一次考试老师都有记录和不记录两种选择，总的情况就是 $2^{2^n}$。于是最终答案就是所有情况的惩罚量之和。

考虑枚举始作俑者人数 $x$和最大惩罚系数 $y$，计算有多少种情况对应 $x,y$。记 $c_1[i]$为惩罚系数 $=i$的人数， $c_2[i]$为惩罚系数 $\leqslant i$的人数。 $x$个始作俑者中一定有一个人惩罚系数 $=y$，且所有人的惩罚系数 $\leqslant y$。若 $c_2[y]<x$，则合法情况数为 $0$。否则在 $c_1[y]$个人中选出一个人当作惩罚系数最大的始作俑者，然后在另外 $c_2[y]-1$个人中选出另外 $x-1$个人，方案数为 $C_{c_1[y]}^1C_{c_2[y]-1}^{x-1}$。但如果有多个人的惩罚系数都为 $y$，这样算就会算重。于是搞一波容斥：
$\sum_{k=1}^{c_1[y]}(-1)^{k-1}C_{c_1[y]}^kC_{c_2[y]-k}^{x-k}$

当这 $x$个始作俑者确定以后，还要讨论其余 $n-x$人的情况。每次考试参与传答案的同学都不完全相同，意味着每次考试唯一对应 $n$个同学的一个子集。首先这 $x$个始作俑者一定都出现在老师记录名单的每一次考试中，这样的考试有 $2^{n-x}$次（相当于去掉这 $x$个始作俑者，其余 $n-x$个同学的子集数），选择的方案数为 $2^{2^{n-x}}$。但可能有其它的同学出现在选择出来的每一次考试中，而这些同学不是始作俑者，这种选法不合法，需要减掉。于是又搞一波容斥：
$\sum_{k=0}^{n-x}(-1)^k\cdot 2^{2^{n-x-k}}C_{n-x}^k$

于是答案就出来了（ $x=0$时的惩罚量为 $0$，直接跳过）：
$ans=\sum_{x=1}^n\sum_{y\in a_i}\bigg(\sum_{k=1}^{c_1[y]}(-1)^{k-1}C_{c_1[y]}^kC_{c_2[y]-k}^{x-k}\bigg)\bigg(\sum_{k=0}^{n-x}(-1)^k\cdot 2^{2^{n-x-k}}C_{n-x}^k\bigg)xy$

虽然有三层循环，但 $\sum\limits_{y\in a_i}\sum\limits_{k=1}^{c_1[y]}$恰好把 $n$个同学全部枚举一遍， $\sum\limits_{k=0}^{n-x}$与 $y$无关，因此可以做到 $O(n^2)$。