数学是一门基础学科，是我们自然科学、人文社会科学的一个非常重要的工具，依赖严格的逻辑推理，从5个基础的公理出发，5构建了严密的数学大厦。近代数学起源于美索不达米亚、埃及，经过希腊文明升华传播，从简单观察，工程应用，上升到了理性分析，从给出原则性结论到公理化、定理化的量化结论。使数学大厦能够基于严谨的推理而来，每一个数学定理都是可叠加的基石。
一、现代数学发展脉络：
1.1、毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯定理在中国又被称为勾股定理，古时美索不达米亚、埃及也发现了不少勾股数，但是古希腊著名数学家毕达哥拉斯给出了准确的定理定义：直角三角形两条直角变的平方和等于斜边的平方。
毕达哥拉斯定理的确立，教会了人们在平面计算距离的方法，在此基础之上，三角学才得以建立，笛卡尔的解析几何才得以确立。定理与测量、特例是不同的，测量、特例是作为一种经验积累，不能作为一种通用的可叠加的知识体系。定理可以由特例观测、抽象而来，也可以基于严谨的推论而来。数据是基于严谨的逻辑推理而来，每一个定理都是可叠加的基石。
1.2、欧式几何
欧式几何学由非常基础的10条公理（5条一般性公理+5条几何学公理）出发，依靠通过严格逻辑推理、发现一系列定理，逐步建立起完整的数学大厦。
五条一般性的公理分别是：
1、如果a=b, b=c, 那么a=c；
2、如果a=b，c=d，那么a+c=b+d;
3、如果a=b，c=d，那么a-c=b-d;
4、彼此能重合的物体（图形）是全等的;
5、整体大于部分。
五条几何公理：
1、由任意一点到另外任意一点可以画直线（也称为直线公理）；
2、一条有限直线可以继续延长；
3、以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆（圆公理）；
4、凡直角都彼此相等（垂直公理）；
5、过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线（平行公理）。至于平行线，就是平面上永不相交的两条线。
解析几何的建立，笛卡尔通过平面直角坐标（笛卡尔坐标）将代数与几何建立关联，用代数简化几何分析复杂度，并对代数分析建立更加直观的分析工具。
1.3、代数学
1.3.1、函数
函数是一种自变量与因变量特殊的对应关系，任何一个变量对应一个函数值，反映一个变量与函数值的变化趋势，可以是线性的、对数的、指数级的变化趋势。函数的使用需要考虑使用范围，要根据实际场景设定变量域值。
关于公式的因果关系,一个变量的函数，变量变化会导致函数值产生因果关系的变化；多个变量的函数，有些会与函数值正相关变化，有些不会有决定性相关，切忌把相关性与因果关系混为一谈。
1.3.2、向量与矩阵
在向量代数中，数字是有方向的，在坐标轴上代表数字坐标方向，向量之间的夹角决定向量相加大小，夹角越小，相加值越大；夹角越大，相加值越小。余弦反映的是两个相邻向量（或三角形的边）的夹角关系，夹角越小，相关度越高，夹角越大，相关度越低，信息学中常用来表现变量向量的相关度。
M*N的矩阵，M行代表一个向量主体，N代表N个维度的向量分量（维度）。矩阵是虚构出来的，为了方便从单个维度计算转换为批量维度计算，方便聚焦整体，方便数学批量推导，信息时代方便计算机批量计算，以及人的大脑理解。矩阵运算属于线性运算，因为计算的维度都是一元线性运算。矩阵相乘在金融领域应用较广，可以从多个维度组合金融向量。
1.4、微积分：数学从初级到高级的发展
数学学习从初级到高级需要用动态趋势的眼光去看待，需要从相关性趋势的抽象去描述，通过动态趋势分析判断事物本质。
极限反映的是一种动态趋势，通过极限完善微积分体系，人类通过微积分能够计算瞬时变化速率。无穷大、无穷小的比较主要看动态变化速率，也就是阶速。计算机比较擅长计算，比较计算机算法好坏通常看趋向无穷大时的阶数大小。
微分反映某个时间瞬时点变化的速率，表现为三角函数切线率。导数本质上是对变化快慢的准确量化度量。微分最重要的概念是梯度，梯度表示哪个维度变量变化趋势最大。从宏观变化了解微观趋势。
导数在数学上更本质的意义，在于它是对于连续性的一种测度，光滑、连续的导数曲线，可以成为判断未来走势的依据。奇点和尖点是不可导的，不可导的趋势不光滑，是不可靠的。
寻找导数为零的拐点方法，发明一种通过跟踪函数从低到高，再到平稳，最后再下降的变化，而求最大值的方法，导数为零时（切线与横坐标平行）的点就是最大值点。这就让人类对事物的理解从静态，到动态了。
积分是从微观看宏观变化，距离是速度的积分，速度是距离变化的微分，微分和积分是互为逆运算的。积分思想的本质是要看动态变化的累积效应，积分的意义是从微观上每一时刻动态的变化理解宏观上积累的效果，对于速度来说累积效应就是距离。积分的累积有滞后效应，初始速度较低，累计距离较慢，随着加速度越来越快，累计效应开始显现。
1.5、概率论
概率论起源：早起起源于赌博行业，伯努利试验定义只有通过大量可重复才有价值，对不确定性、随机的时间寻找规律进行概率统计。
概率公理化：前苏联伟大的数学家柯尔莫哥洛夫定义基于三个简单公理定义概率论：
公理一：任何事件的概率是在0和1之间（包含0与1）的一个实数。
公理二：样本空间的概率为1，比如掷骰子，那么从1点朝上，到6点朝上加在一起构成样本空间，这六种情况放到一起的概率为1。
公理三：如果两个随机事件A和B是互斥的，也就是说A发生的话B一定不会发生，那么，这件事发生的概率，就是A单独发生的概率，加上B单独发生的概率。这也被称为互斥事件的加法法则。很好理解，比如掷骰子一点朝上和两点朝上显然是互斥事件，一点或两点任意一种情况发生的概率，就等于只有一点朝上的概率，加上只有两点朝上的概率。
柏松分布:随机事件A发生的概率通常很小，但是试验的次数n很大，比如发生车祸的情况便是如此，这种分布被称为泊松分布。应对随机性，为预防不测，我们在准备资源时，达到平均值还是不够的，需要准备一些冗余量。池子越大，越能抵消随机性带来的误差，在防范不经常发生的小概率事件时，大家不妨联合起来，把应付不测的资源放到一起。
高斯分布：正态分布，大概率事件，利用概率分布的平均值和标准差，来定义了正态分布，这种定义更具有普遍意义。高斯分布的平均值就是高斯曲线X轴的对称值，平均值决定高斯曲线的对称位置。标准方差决定曲线分布高矮胖瘦，标准方差越小，曲线就越高瘦，越集中在平均值附近；标准方差越大，曲线就越胖矮。
高斯曲线和x轴之间的面积，就是曲线的积分，面积的大小就代表了高斯分布在某个范围内的概率。“三σ原则”或者“68-95-99.7原则”，平时大家记住带有随机性质的结论，需要有95%的置信度就好了。
条件概率和贝叶斯公式：P(Y|X)=P(X,Y)/P(X)（注：一件事Y在条件X下发生的条件概率P（Y|X），等于条件X，和这件事Y一同发生的联合概率P（X，Y），除以条件X的概率P（X）。）
如何把式子变形就是贝叶斯公式？现在我们把这个式子变形，写成：P(X,Y)=P(Y|X)*P(X)（注：可以理解成X和Y一同发生的概率，就是X发生的概率，乘以在X条件下Y发生的概率。）
在数学上的因果关系不像在物理上是单方向的，它可以是条件和结果互为因果。在概率上也有这样一个特点，就是条件和结果可以互换。
把X和Y调一个个儿就可以了，我们可以写成：
P(X|Y)*P（Y）=P(X,Y)
对比这个式子和前面的式子，我们发现它们都等于X和Y的联合概率分布P(X,Y) ，因此两个等式的左边也必然相等。于是，我们就可以得到一个重要的公式P(X|Y)*P（Y）=P(Y|X)*P（X）。
在这个公式中，如果我们知道了其中三个因子，就能求出第四个。通常来讲，两个条件概率P(X)和P(Y)是容易求的。另外两个条件概率，一个是X条件下Y的概率，一个是Y条件下X的概率，常常一个比较容易得到，另一个比较难得到。所以，我们常常从容易得到的条件概率，推导出难得到的概率。这就是著名的贝叶斯公式。
P(X|Y)=P(Y|X)*P（X）/ P（Y）
在这个公式中，我们假定Y条件下X的条件概率比较难得到，我们放在了等式的左边，而X条件下Y的条件概率容易得到，我们放在了等式的右边。
通过这种互换，可以把一个复杂的问题变成三个简单的问题。这就是贝叶斯公式的本质。利用它，就解决了机器翻译的难题。
二、数学和逻辑学关系
逻辑是一切的基础，是人类理性的体现。数学结论的正确性，取决于公理的正确性，以及逻辑的严密性，因此数学和逻辑是密不可分的，特别像欧几里得几何这种数学体系，完全依赖逻辑。数学真是有内在的逻辑性，才避免可能的自相矛盾之处。
逻辑学的基本原理：
1、同一律：一个事务只能是其本身。大白话背后的含义是世界上任何一个个体都是独一无二的，评估就是苹果，不是橘子。
2、矛盾律：不可能既是A又不是A，通常的表述是在某个事务的某一方面（在同一时刻），不可能既是A又不是A。数学中的反证法就是基于矛盾律。逻辑学家们一般强调四个“同一”，即同一时间、同一方面、同一属性、同一对象，总之强调的是独一无二的事件。
3、排中律：“是非”明确，它通常表述是，任何事务在明确的条件下，都要有明的“是”或“非”的判断，不存在中间状态。
4、充分条件律：有果必有因，它表示的是任何结论都要有充足的理由，这也是我们常说的因果理由。任何数学的推理，都离不开充分条件律。
三、数学和自然科学关系
数学是自然科学的基础，数学对自然科学的帮助，主要体现在工具和方法俩方面，各种自然科学的升华过程有以下三个共同点：
1、从简单的观察上升到理性的分析；
2、从给出原则性结论到量化的结论，很多事情需要量化度量才能得到准确的结论；
3、将自然科学公式化，或者说用数学的语言来描述自然科学。
自然科学“+数学”的进程：
1、第一个被数学改造的学科是天文学，将天文学从不准确的占星术，利用数学工具建立了天体运动的模型；
2、第二个被改造的学科是博物学，亚里士多德用数学的方式进行万物分类；
3、第三个被改造的学科是物理学，这个过程始于阿基米德，成熟于伽利略，成熟的物理理论都是建立在数学的基础之上，数学水平不够的物理学家，地位不会太高，理论物理学家通常是半个数学家；
4、第四个被改造的学科是化学，实验和逻辑使得化学从炼金术到科学的华丽转身，“化学之父”拉瓦锡利用逻辑和量化确立了化学研究的方法；
5、医学、生物学要用到大量逻辑，到了近代还要用到大量的统计。
四、数学和哲学关系
数学和哲学属于一头一尾的两门学科，最底层是数学，中间是各类自然科学，最上层是哲学。
数学对哲学的影响：数学是一门逻辑推理性较强的学科，依赖底层5条基础公理建立起来，其基础一旦建立起来，几乎不会改变。无论是笛卡尔或莱布尼茨的哲学思想，都是是建立类似数学一样，用到了数学中建立公理化体系的方法，建立自己的哲学体系，而那些数学方法，一旦上升到哲学层面，就成为了在认知上通用的方法，并且对世界形成了更大的影响力。
哲学对数学的影响：哲学对数学非常重要，缺乏哲学修养的人，无法成为数学大家。因为哲学讲的是关于宇宙万物的本质，它们之间最普遍、最一般的规律，以及整个宇宙的统一。
五、数学和运筹学关系
作为运筹学底层原理的数学，运筹学其实就是利用图论、线性代数等数学工具，从整体上改进现有系统的效率。在一个复杂的系统中，整体不等于部分之和，我们要想缩短整个生产时间，就需要缩短关键路径上的时间，这就是运筹学的思想。
六、管理学的数学方法论
作为管理学方法论的数学：“企业三公理”愿景使命、价值观和文化，相当于几何学中的公理。愿景和使命是一家企业需要存在的理由，价值观体现企业中的人和外界各种人的关系（如客户优先、回报社会优先或是投资人利益优先等），文化则反映了企业中人和人的关系。
这三公理决定了企业的规章制度和市场定位，比如哪些事情可以做，哪些不能做，该怎么做，不该怎么做，这些规章制度相当于几何学中的定理。再接下来会逐渐产生并优化出很多做事的流程、方法和习惯，可以被看成是定理的推论。三个定理一旦确定，公司的基因也就定了，发展也就不同。
七、历史怎么用数学思维
使用数学的归纳和演绎方法，站在一个更大的时间范围、空间场景体系研究历史，避免站在某个专家的局部观点，更能梳理出史实自然演绎的必然结果，构建出一个能自恰的知识体系。
