最优化算法与matlab应用2：二次插值法

插值法是一种重要的线性搜索方法，其基本思想是在搜索区间中不断用低次插值多项式来近似目标函数，并逐步用插值多项式的极小点来逼近目标函数的极小点。当函数具有比较好的解析性质时，插值方法效果更好。

1.算法原理

2.算法步骤

3.实例与matlab应用

clear;
clc; 
f1202=inline('(x.*x - 2).^2/2-1', 'x');;
%%%设定区间端点
a = 0;
b = 5;
%%%分别设定x阈值和函数f阈值
TolX = 1e-5; 
TolFun = 1e-8; 
%%%设定迭代次数
MaxIter = 100;
%%%用二次插值函数求解
[xoq,foq] = Opt_Quadratic(f1202,[a b],TolX,TolFun,MaxIter)
%用matlab内置函数求最小值以及它的函数值
[xob,fob] = fminbnd(f1202,a,b) %MATLAB 内置函数求解

function [xo,fo] = Opt_Quadratic(f,x,TolX,TolFun,MaxIter)
% 用二次插值求f(x)最优解
if nargin < 5
    MaxIter =100;
end
if nargin < 4
    TolFun= 1e-8;
end
if nargin < 3
    TolX = 1e-5;
end
%%%根据输入确定三点的初始值，并求出对应的函数值
if length(x) > 2 
    x012 = x(1:3);
else
    if length(x) == 2
        a = x(1);
        b = x(2);
    else
        a = x-10; b = x+10;
    end
    x012 = [a (a + b)/2 b];
end
f012 = f(x012);
%%%%初始化三点值
x0 = x012(1);
x1 = x012(2);
x2 = x012(3);
f0 = f012(1);
f1 = f012(2);
f2 = f012(3);
%%%%%求出插值二项式的取最小值处的x3以及相应的最小值f3
nd = [f0-f2 f1-f0 f2-f1]*[x1*x1 x2*x2 x0*x0; x1 x2 x0]';
x3 = nd(1)/2/nd(2);
f3 = feval(f,x3); 
%%%%判断是否停止迭代
if MaxIter<= 0 | abs(x3 - x1) < TolX | abs(f3 - f1) < TolFun
    xo = x3;
    fo = f3;
else
%%%%%根据求出的多项式值与区间中三点值的大小比较确定相应的新的三点
    if x3 < x1
        if f3 < f1
            x012 = [x0 x3 x1];
            f012 = [f0 f3 f1];
        else
            x012 = [x3 x1 x2];
            f012 = [f3 f1 f2];
        end
    else
        if f3 <= f1
            x012 = [x1 x3 x2];
            f012 = [f1 f3 f2];
        else
            x012 = [x0 x1 x3];
            f012 = [f0 f1 f3];
        end
    end
%%%%%进行新一轮迭代
    [xo,fo] = Opt_Quadratic(f,x012,TolX,TolFun,MaxIter-1);
end