数模(7)：灰色预测模型

介绍

灰色预测模型是对少量数据进行拟合确定方程的一种模型，通过累加的方式减少数据中的不确定因素。

记原始序列为 $x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n))$，一次累加生成序列为 $x^{(1)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(1)+x^{(0)}(2),...,\sum_{i=1}^{n}x^{(0)}(i))$，则可以视原始序列为一次累加生成序列对i的微分序列。

设微分方程 $\frac{dx}{di}+ax=b$，即 $x^{(0)}+ax^{(1)}=b$，可以利用最小二乘法估计a和b的数值。

解微分方程得 $x^{(1)}=(x^{(1)}_0-\frac{b}{a})e^{-ai}+\frac{b}{a}$，再将其每一位减去前一位还原为 $x^{(0)}=(x^{(1)}_0-\frac{b}{a})(e^{-ai}-e^{-a(i-1)})$，既可以得到原始序列关于i的拟合方程。

实例

下表是2000-2006年宁波市房地产价格的统计数据，试拟合模型。

年份	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
宁波市	105.5	107.2	116.4	116.6	113.9	106.5	102.2

设2000年为第1年，python代码如下：

import numpy as np
from scipy import optimize
from matplotlib import pyplot

lis=np.array([105.5,107.2,116.4,116.6,113.9,106.5,102.2])
lis1=lis.cumsum()
z1 = np.polyfit(lis1, lis, 1)
a=-z1[0]
b=z1[1]
print(a,b)
i=np.arange(1,8)
x1=(lis1[0]-b/a)*(np.exp(-a*i)-np.exp(-a*(i-1)))
pyplot.plot(i,x1)
pyplot.plot(i,lis,".")
pyplot.show()

计算出a值为0.004，b值为111.54，其拟合结果是一条几乎将散点一分为二的直线