在已经了解积集合的状态下，探究集合元素间的关系。
I.等价关系
[定义\(3.1\)]
a.设 \(A,B\) 为集合，积集合 \(A\times B\) 的一个子集 \(R\) 就称为 \(A\) 到 \(B\) 的一个关系，特别的，称 \(A\times A\) 的子集为 \(A\) 上的一个关系。若 \((a,b)\in R\)，称 \(a,b\) 与 \(R\) 相关，记作 \(aRb\) 。
[定义\(3.2\)]
b.设 \(R\) 为 \(A\) 上 的一个关系，若 \(R\) 满足以下条件：
b.a.自反性：若 \(a\in A\)，有 \((a,a)\in R\).
b.b.对称性：若 \((a,b)\in R\)，有 \((b,a)\in R\).
b.c.传递性：若 \((a,b),(b,c)\in R\)，有 \((a,c)\in R\).
我们称 \(R\) 为 \(A\) 上的一个等价关系，常用 \(\sim\) 表示，即将 \(aRb\) 记作 \(a\sim b\)。
Tip：\(R\) 即为在 \(A\times B\) 上加一些约束条件，如设集合 \(A,B\)，\(A\times B=\{(x,y)|x\in A,y\in B\}\)，\(R\) 的通式可以写作 \(R=\{(x,y)\in A\times B,P(x,y)\}\)，其中 \(P(x,y)\) 为 \(R\) 的约束条件。
例1 设 \(D\) 是 \(Descartes\) 平面，定义：\(D\) 中两点 \(a\sim b\) 当且仅当 \(a,b\) 到原点的距离相等。则 \(P(a,b)\) 即 \(a,b\) 到原点距离相等，不难验证这是个等价关系。
例2 设 \(H\) 为全体人类的集合，定义：\(H\) 中两元素 \(a\sim b\) 当且仅当 \(a,b\) 为同性。则 \(P(a,b)\) 即 \(a,b\) 为同性，也是个等价关系。
Tip：至于当且仅当不需要分类（充要性）讨论，只需要验证在这个定义下 \(R\) 为等价条件即可。
II.分划
a.现设 \(\sim\) 为集合 \(A\) 上的一等价关系，\(a\) 为 \(A\) 内一元素，与 \(a\) 在 \(\sim\) 下等价的全体元素组成 \(A\) 的一个子集，称为 \(a\) 的一个等价类，用 \([a]\) 表示。
b.例1中 \(a\) 的等价类为与 \(a\) 在同一圆心为原点的圆上的点的全体组成的集合，例2中 \(H\) 只含有两个等价类，分别为男性和女性。注意表述方式的差异。
c.我们注意到，一集合内两互异元素所在等价类若不重合，则必不相交。即各等价类互相独立，等价类两两交集为空集，全体并集为 \(A\)。
e.由此我们看出：
e.a.若一个集合上定义了一个等价关系，则这个集合可以被划分成互不相交的子集之并。
e.b.一个集合若能被表示为互不相交的子集之并，则称这些子集族为该集合的一个分划。
事实上我们可导出下面一个命题：
[命题\(3.1\)]
1.设 \(R\) 为集合 \(A\) 上的一等价关系，则 \(R\) 决定了 \(A\) 的一个分划 \(P\)，且由 \(P\) 导出的等价关系即为 \(R\).
2.给定 \(A\) 的一个分划 \(P\)，亦能导出一个 \(A\) 上的等价关系 \(R\)，且由 \(R\) 决定的分划即为 \(P\) .
证明从略（毕竟这只是个笔记）。
III.商集
a.设 \(\sim\) 为集合 \(A\) 上的一等价关系，\(A\) 上所有等价类的族集合称为 \(A\) 关于 \(\sim\) 的商集，记之为 \(A/\sim\) 或\(\overline A\)。
b.若 \(a\in A\)，则 \([a]\) 作为 \(\overline A\) 的元素通常记为 \(\overline a\)。