树形结构+递推或树的重心 会议（洛谷 P1395 ）

会议

题目描述

有一个村庄居住着n个村民，有n-1条路径使得这n个村民的家联通，每条路径的长度都为1。现在村长希望在某个村民家中召开一场会议，村长希望所有村民到会议地点的距离之和最小，那么村长应该要把会议地点设置在哪个村民的家中，并且这个距离总和最小是多少？若有多个节点都满足条件，则选择节点编号最小的那个点。

输入格式

第一行。一个数n，表示有n个村民。

接下来n-1行，每行两个数字a和b，表示村民a的家和村民b的家之间存在一条路径。

输出格式

一行输出两个数字x和y

x表示村长将会在哪个村民家中举办会议

y表示距离之和的最小值

---

首先可以推出结点 i 的儿子结点 j 到 i 的总路径长度为 w[i]=w[j]+size[j] （ j 为 i 的儿子结点），先预处理出每个结点的儿子结点个数size[j]，然后计算出结点 1 为根的总路径长度w[1];

这时可以发现len[1]=w[1],（len[i]表示树的所有结点到 i 的路径长度）；

len[j]=w[j]+(len[i]-w[j]-size[j])+(n-size[j])=len[i]+n-2*size[j];(j为i的儿子结点)

所以最后从1开始遍历整颗树就行；

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=100010;
const int M=2000100;
const LL mod=2e9;
int n,cnt,head[N];
struct Node{
	int to,nex;
}edge[N*2];
void add(int p,int q){
	edge[cnt].nex=head[p];
	edge[cnt].to=q;
	head[p]=cnt++;
}
int size[N],pos;
LL w[N],len[N],ans;
void dfs(int p,int f){
	size[p]=1,w[p]=0;
	for(int i=head[p];~i;i=edge[i].nex){
		int q=edge[i].to;
		if(q!=f) dfs(q,p),size[p]+=size[q],w[p]+=(LL)size[q]+w[q];
	} 
}
void dfs1(int p,int f){
	for(int i=head[p];~i;i=edge[i].nex){
		int q=edge[i].to;
		if(q!=f){
			len[q]=len[p]+1ll*n-2ll*size[q];
			if(ans>len[q]){
				ans=len[q];
				pos=q;
			}
			else if(ans==len[q]) pos=min(pos,q);
			dfs1(q,p);
		}
	}
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int p,q;
		scanf("%d%d",&p,&q);
		add(p,q),add(q,p);
	}
	dfs(1,-1);
	len[1]=w[1],ans=w[1],pos=1;
	dfs1(1,-1);
	printf("%d %lld\n",pos,ans);
	return 0;
}

这题还有第二种解法：

这个求一个点到其他各个点的距离最短，刚好就是树的重心；

所以只要求出树的重心就行；

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=100010;
const int M=2000100;
const LL mod=2e9;
int n,cnt,head[N],pos,siz[N],sum=2e9,siz1[N];
struct Node{
	int to,nex;
}edge[N*2];
void add(int p,int q){
	edge[cnt].nex=head[p];
	edge[cnt].to=q;
	head[p]=cnt++;
}
void dfs1(int sn,int fa){
	siz[sn]=1;
	int mmax=0;
	for(int i=head[sn];~i;i=edge[i].nex){
		int v=edge[i].to;
		if(v!=fa){
			dfs1(v,sn);
			siz[sn]+=siz[v];
			mmax=max(mmax,siz[v]);
		}
	}
	mmax=max(n-siz[sn],mmax);
	if(mmax<sum) pos=sn,sum=mmax;	
	else if(mmax==sum) pos=min(pos,sn);
}
void dfs2(int sn,int fa){
	for(int i=head[sn];~i;i=edge[i].nex){
		int v=edge[i].to;
		if(v!=fa){
			siz1[v]=siz1[sn]+1;
			dfs2(v,sn);
		}
	}
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int p,q;
		scanf("%d%d",&p,&q);
		add(p,q),add(q,p);
	}
	dfs1(1,-1);
	dfs2(pos,-1);
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=siz1[i]; 
	printf("%d %lld\n",pos,ans);
	return 0;
}