关于网络流
网络最大流，简称网络流，是一种流量问题。
用数学语言就是如下表示：
给定原图 \(G=(E,V)\)，要求出 \(G'=(E',V')\)，满足：
- \(V'=V\)，即两图点集相同。
- \(\forall e\in E,\exists e'\in E'\ e_d=e'_d,e_s=e'_s,e_v\ge e'_v\)，即两图的结构相同，且 \(G'\) 里的边权不大于 \(G\) 里的对应边的边权。
- \(\exists s,t\in V \ \sum\limits_{e\in E'\\ e_t=s}e_v=0,\sum\limits_{e\in E'\\e_s=t}e_v=0\)，即新图存在一个源点 \(s\)，和一个汇点 \(t\)，使得 \(s\) 入度为 \(0\)，\(t\) 出度为 \(0\)。
- \(\forall v\in V,v\neq s,v\neq t\ \sum\limits_{e\in E'\\e_s=v}e_v=\sum\limits_{e\in E'\\e_t=v}e_v\)，即对于所有非源点、汇点的点，带权入度与带权出度相等。
求出 \(\max \sum\limits_{e\in E'\\e_d=t}e_v\)。
用通俗语言讲，就是一个水系统，在注满了水以后，从源点到汇点的最大流水量。
如何求解网络流
有两种主流方法：
- 增广路算法。指不断寻找能够增加流量的路径来求解。
- 预流推进算法。指通过模拟水流的推动过程来求解。
一般来说，增广路算法有 EK，Dinic 和 ISAP。而预留推进算法有 HLPP 算法。
在求解最短路时，通常采用 ISAP 或 HLPP 算法。但是 HLPP 算法常数较大，一般情况下都使用 ISAP 算法求解网络最大流。
关于增广路算法
关于增广路算法，有一下几个定义：
反向边 \(\&\) 残余网络
定义 \(e'\) 为 \(e\) 的反向边，当且仅当 \(e'_s=e_t\)，\(e'_t=e_s\)，\(e'_v\) 为 \(e\) 已经使用的流量。
反向边的意义为执行贪心算法时，用于“反悔”。即就算选择了错误的增广路，也可以通过走反向边纠正。
定义原图和原图每一条边的反向边的并集为原图的残余网络。
增广路
定义一条从源点到汇点的路径为最短路，当且仅当这条路径上每一条边的剩余流量不为零。
增广路算法的基本逻辑
即以下流程：
- 寻找一条或几条增广路，若找不到，退出算法；
- 将增广路上能增加的流量增加到整体流量上；
- 返回第一步。
何为 ISAP 算法？
ISAP (Improved Shortest Augment Path) 是 SAP 算法的优化。融合了 SAP 和 Dinic 的思想。是增广路算法中平均速度最快的算法。
ISAP 在基本的增广路算法流程上，优化了寻找增广路的方法。
基本操作如下：
- 进行一次从汇点到源点的反向宽搜，对原图分层。
- 从源点开始进行若干次深搜。深搜出来增广路，再将增广路上的节点层数 \(+1\)。
接下来我们想一想，为什么这样是正确的，以及为什么这么做效率高。
注：下面的图片，若未注明，则编号最小的节点为源点，编号最大的节点为汇点。
首先，你要找增广路。怎么去找呢？
妈妈，我会 DFS！
很好，于是你就去 DFS 找增广路了。
顺带一提，这样的算法称作 Ford-Fulkerson 算法
直到有一天，你看到了这样一张图：
不知道什么奇怪的原因，你搜到了 \(1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\) 这条路径。
接下来，你又搜了 \(1\rightarrow 3\rightarrow 2\rightarrow 4\)。
然后……（又经过了 \(199998\) 步后）……你终于搜完了。
看起来没毛病……然而出题人看着很不爽。
过了一天，出题人加强了数据。现在，这条边变得更粗♂了：
真·硬核变粗
结果，你的算法依旧出现了那个问题……出题人看你不爽，丢了一个 TLE 给你。
Ford-Fulkerson：卒。
完了，这下该怎么办呢？
妈妈，我会 BFS！
女少口阿！利用 BFS 总是能够搜出最短路的 特性，我们就能够完美解决这个问题。
这个算法叫做 Edmonds-Karp，或者是 SAP。
就在你洋洋得意之时，出题人读透了你的心思，便给你丢了这么一张图：
你的算法成功被卡到了 \(\mathcal{O}(n^2)\)，TLE。
Edmonds-Karp：卒。
此时，你的内心应该是崩溃的。
啊啊啊，DFS 不行，BFS 不行，还能怎么办啊？
难不成……要结合起来？
Bingo！加一分。
没错，我们确实要让 DFS 与 BFS 结合起来。那么，怎么结合呢？
我们先来比较 DFS 与 BFS 的好坏：
| DFS | BFS | |
|---|---|---|
| 优点 | 占用空间少，速度快 | 可以搜出最短增广路 |
| 缺点 | 可能因为增广路过长而导致重复 | 有时会被卡到全图遍历 |
我们经过反复考量后，打算改造 DFS。
为什么？因为 BFS 的结构导致一定会被卡到全图遍历。除非变成 A* 才能有优化。
（额我是不是一不小心说漏了什么）
那么，我们怎样才能让 DFS 跑的是最短增广路呢？我们考虑给图分层。
每一次 BFS 都将这张图分层。接下来 DFS 只会在相邻两层之间跑来跑去。
当两个节点之间没有剩余流量时，就视为不连通。
这样，我们就能既有最短路，又能够避免全图遍历了。
恭喜你，你已经想到了 Dinic 算法。Dinic 的核心就是上面的流程。
当然，Dinic 还有很多细节上的优化，这个我们待会儿再讲。
当然，某些毒瘤出题人看 Dinic 不爽，打算来卡一卡。
这样的数据是有的，而且有的是。
卡 Dinic 的核心就是让它不停地跑 BFS，导致整体复杂度趋近上限 \(\mathcal{O}(n^2m)\)。
所以，我们还需要一个究极算法，来拯救被毒瘤出题人蹂躏的 Dinic。
就在这时，ISAP 横空出世，成功教那些出题人做人。
ISAP 的核心优化就是将那个可恶的反复 BFS 干掉了，变成了只做一次 BFS 的事情。
问题是，如何在只有一次 BFS 的情况下完成分层，并且一直维护这个分层呢？
之前 Dinic 要一直跑 BFS 的原因是 DFS 无法维护。这个分层是连通与否的分层。
ISAP 的分层则是在每一次找到一条增广路后，提高每一个点的层数。
这样，就能依次走最短路，次短路，等等。就可以不用多次跑 BFS 了。
出题人听到了这句话以后很开心，因为下面这张图你跑不过：
？？？为什么跑不过啊，因为你一次 DFS 只能找一条最短增广路。但是，最短增广路完全有可能不止一条。
那么，我能不能在一次 DFS 中找到很多条最短增广路，以至于形成了一个增广路网呢？
Bingo！再加一分。
这样，你就成功解锁了基本版 ISAP。（当然，对于每一个增广路网上的节点，高度只需要增加 \(1\)）
问题是，出题人发现你的 ISAP 很弱，于是就来疯狂卡你。你不得不通过寻找优化来跟进速度。
首先，如果你的 DFS 在某一个节点上没有跑满，也就是说还有节点可以往外灌，那么你这个节点还是有潜力的。也就是说你卷土重来时还是有机会的。
那么，当你回来时，你是否还要访问之前那些边呢？实际上没有必要了，易证。
那么，我们就可以记录一下当前这个节点遍历到哪一条出边，跑完后再重新开始。
这个优化就成为 当前弧优化。
（Tip：这个优化也适用于 Dinic，有很大的速度提升。）
同时，我们对于 ISAP 的高度很感兴趣。
因为高度相邻时，两条边才能算作连通。那么如果高度出现了断层，那么不就可以洗洗睡了吗？
所以，我们对于每一次 DFS 完毕后统计这个节点的高度增加后，会不会出现高度断层。出现了，就可以 over 了。
这个优化就被成为 Gap 优化。
加上了这辆个优化以后，我们的 ISAP 就所向披靡了。
建议大家以后都用 ISAP 做网络最大流问题。常数小，基本不可能跑满，没见过被卡，码量还很小。
最后给大家放上模板题的代码：
测试地址：（本题可以在洛谷上提交通过，没有吸氧）
趁现在赶紧白嫖一波双倍经验
// @author 5ab
/*
变量解释：
hd[],des[],val[],nxt[]，edge_cnt：邻接表存图，不用解释，-1 代表末尾。
occ[p]：代表边 p 有多少流量被使用。
hei[i]：i 号点的高度。
gap[i]：高度为 i 的点的数量。
cur[i]：当前弧优化。
flag：是否出现断层取反，即是否可以继续。
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
using namespace std;
const int max_n = 10000, max_m = 100000, INF = 2147483647;
int hd[max_n], des[max_m<<1], val[max_m<<1], occ[max_m<<1] = {}, nxt[max_m<<1], edge_cnt = 0;
int hei[max_n], gap[max_n] = {}, cur[max_n];
bool flag = true;
queue<int> q;
inline int my_min(int a, int b) { return (a < b)? a:b; }
int aug(int s, int t, int lim) // 深搜找最短增广路
{
if (s == t)
return lim;
if (!flag)
return 0;
int tmp, flow = 0;
for (int& p = cur[s]; p != -1; p = nxt[p])
if (hei[des[p]] == hei[s] - 1) // 高度差 1
{
tmp = aug(des[p], t, my_min(lim, val[p] - occ[p]));
flow += tmp, occ[p] += tmp, occ[p^1] -= tmp, lim -= tmp; // 正向边减权，反向边加权
if (lim <= 0)
return flow;
}
gap[hei[s]]--;
if (!gap[hei[s]])
flag = false; // 检测断层
hei[s]++, gap[hei[s]]++, cur[s] = hd[s];
return flow;
}
inline int read()
{
int ch = getchar(), n = 0, t = 1;
while (isspace(ch)) { ch = getchar(); }
if (ch == '-') { t = -1, ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) { n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar(); }
return n * t;
}
void add_edge(int s, int t, int v)
{
des[edge_cnt] = t, val[edge_cnt] = v;
nxt[edge_cnt] = hd[s], hd[s] = edge_cnt++;
}
int main()
{
memset(hd, -1, sizeof(hd));
memset(hei, -1, sizeof(hei));
int n = read(), m = read(), s = read() - 1, t = read() - 1, ta, tb, tc, ans = 0, eg;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
ta = read() - 1, tb = read() - 1, tc = read();
add_edge(ta, tb, tc); // 正向边
add_edge(tb, ta, 0); // 反向边
}
for (int i = 0; i < n; i++)
cur[i] = hd[i];
hei[t] = 0, gap[0] = 1;
q.push(t);
while (!q.empty()) // 宽搜分层
{
eg = q.front();
q.pop();
for (int p = hd[eg]; p != -1; p = nxt[p])
if (hei[des[p]] == -1)
{
hei[des[p]] = hei[eg] + 1;
gap[hei[des[p]]]++;
q.push(des[p]);
}
}
while (flag)
ans += aug(s, t, INF); // 不停寻找最短增广路
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
后记
如果你能够一字不落地看完整篇笔记，希望你也能感受到发现算法的乐趣。
当然，如果你只是看完了代码，那么也恭喜你学会了一个新模板。
如果你只是看了标题，那么谢谢你给我白嫖了阅读数。
经过了将近 \(3\) 个小时的时间，终于写完了这篇笔记。
希望我的学习笔记能给你带来启发或是灵感。