\(\color{#FF003F}{\texttt {AGC029F}}\)
神题。
观察下什么时候会无解，对于任意一个元素是给定集合的集合，若左侧与其中任意一个集合相连的点的数量 \(\geq\) 集合大小，则无解。即若存在 \(\{E_i | 1 \leq i \leq n\}\) 的一个子集 \(S\)，若 \(f(S)=|\{u \in E \in S\}|<=|S|\)，则无解。
这显然是必要条件，否则会连出环。
构造二分图，把 \(n\) 个点放在左边，\(n-1\) 个集合放右边，点向包含的所有集合连边。如果此二分图不存在完美匹配，答案肯定是 \(-1\)。
反证：如果可以构造出，那么可以让每条树上的边与深度较深的点匹配，匹配数是 \(n-1\)。
否则左侧有且仅有一个未匹配点，从它开始dfs，每次找与其相连的未经过的右侧点，与它的对应匹配点连边，递归下去dfs。
考虑此方法的正确性，我们需要证明这样构造出的是一棵树 且 有解不会构造不出。
这样构造出的是一棵树：显然会有 \(n-1\) 条边，因为一个右侧点只会与一个左侧点匹配，所以构造不出环。
有解不会构造不出：假设这种情况存在，那么存在一个时刻，存在右侧剩余点和左侧剩余点，且左侧经过的点与右侧剩余点无边。
因为我们同时 dfs 到一个右侧点和与其匹配的左侧点，所以左侧经过点的数量等于右侧经过点的数量+1（一开始的未匹配点），右侧剩余点数量等于左侧剩余点数量。令 \(S\) 是右侧剩余点的集合，因为 \(S\) 中的点都有匹配点且左侧经过的点与右侧剩余点无边，所以右侧剩余点和左侧剩余点相互匹配，则 \(f(S)=|S|\)，所以无解。
\(\color{#FFFFFF}{我要妹子\operatorname{/kel}}\)