月之数 HDU2502

当寒月还在读大一的时候，他在一本武林秘籍中（据后来考证，估计是计算机基础，狂汗-ing），发现了神奇的二进制数。
如果一个正整数m表示成二进制，它的位数为n（不包含前导0），寒月称它为一个n二进制数。所有的n二进制数中，1的总个数被称为n对应的月之数。
例如，3二进制数总共有4个，分别是4（100）、5（101）、6（110）、7（111），他们中1的个数一共是1＋2＋2＋3=8，所以3对应的月之数就是8。

Input给你一个整数T，表示输入数据的组数，接下来有T行，每行包含一个正整数 n（1<=n<=20）。
Output对于每个n ，在一行内输出n对应的月之数。
Sample Input

Sample Output

1
3
8

解法一：递推

仔细观察递推过程，会发现

1位2进制：数的个数=1=2^0 f(1)=1

2位2进制：数的个数=2=2^1 f(2)=3=2*f(1)+2^0

3位2进制：数的个数=4=2^2 f(2)=8=2*f(2)+2^1

4位2进制：数的个数=8=2^3 f(2)=8=2*f(3)+2^2……

每一个2进制中1的个数都是在上一个2进制的每个数基础上在最右边加上1或0，所以1的个数先是上一个二进制中个数的二倍，然后如果加1，1的个数会增加，加0不会

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int f[21];
void set()
{
    int i;
    f[1]=1;
    for(i=2;i<=20;i++){
        f[i]=2*f[i-1]+pow(2,i-2);
    }
}

int main(void){
    int n,val;
    set();
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        scanf("%d",&val);
        printf("%d\n",f[val]);
    }

    return 0;
}

解法二：用数学公式（讲解摘自老师博客）

该问题的另外一种解法是用组合数学的知识直接计算n二进制数中的1的个数。

　　对于输入的n，n二进制数即n位并且首位为1的二进制数，满足：

　　　　pow(2,n-1) ≤ n二进制数 < pow(2,n)

　　因为首位为1，n二进制数的个数就是n-1位的0和1的组合数，即pow(2,n-1)个。

　　第1位必须为1，所以第1位的1的个数为pow(2,n-1)个。

　　其他n-1位，总位数为(n-1)*pow(2,n-1)。其中0和1的个数是一半对一半，所以1的位数为(n-1)*pow(2,n-1)/2。

　　合计1的位数为：pow(2,n-1) +(n-1)*pow(2,n-1)/2。

　　实际计算时，没有必要用数学函数pow来计算。用移位运算来计算2的n次方是一种快速的计算方法。

即1<<(n-1)+(n-1)*(1<<(n-2))

　　解决问题的第一步用数学方法是十分有效的；第二步则需要用一些程序技巧来简化计算。

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