【二分】一元三次方程扩展

题目描述

众所周知，巨佬是不屑于做水题的，所以这么水的题只有交给你来完成啦。

有形如：ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。

输入输出格式

输入格式：
一行，4个实数A，B，C，D。
输出格式：
一行，三个实根，并精确到小数点后2位。

观察可发现本题的数据范围和精度其小无比，-100到100，精度小数点后两位，
就算是0.01 0.01的枚举也不过是O（20000）的复杂度，完全可以接受。

于是有此暴力代码。。

#include<stdio.h>
double a,b,c,d;
int main()
{ 
    scanf("%lf %lf %lf %lf",&a,&b,&c,&d);
    for(double i=-100.00;i<=100.00;i+=0.01)
    {
        if(a*i*i*i+b*i*i+c*i+d<0.00000001&&a*i*i*i+b*i*i+c*i+d>-0.00000001)
        //注意判断浮点误差，一般认为答案差值不超过0.00000001为正确
            printf("%.2f ",i);
    }
    return 0;
}

思考

此题极具特殊性，如果没有精度和范围的限制，又该如何求解
对于在线性顺序排序的结构中，我们往往使用二分查找。
但此题有一点不同·
如图为一元三次函数的图像
这里写图片描述
因为其不具有单调性，所以要将其分为三段依次求每段上的根。
列如此图可分为（-∞，-2）（2，1）（1，+∞）三段，再分别在每一段上二分查找。
那么问题也就转化为了如何寻找斜率为0的两个点的问题，对于此问题可以对原三次函数进行求导，求解一元二次的导函数得到分界点的值分别为x1，x2.
于是就可以分别为（-∞，x1）（x1，x2）（x2，+∞）三段上依次求解。

代码

#include<math.h>
#include<stdio.h>
double esp=1e-4;
int a,b,c,d;
int check(double x)
{
    return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d>0?1:0; 
}
double find (double l,double r)
{
    double temp=(l+r)/2;
    while(r-l>=esp)
    {
        if(check(temp)+check(l)==0||check(temp)+check(l)==2)
        {
            l=temp;
        }
        else
        r=temp;
        temp=(l+r)/2;
    }
    return r;
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d %d",&a,&b,&c,&d);
    double x1,x2,t;
    double data=pow((4*b*b-12*a*c),0.5);
    x1=(-2*b+data)/6/a;
    x2=(-2*b-data)/6/a;//计算x1，x2。
    if(x1>x2)
    {
        t=x1;
        x1=x2;
        x2=t;
    }//判断x1，x2的大小关系，把小的放在x1.
    double ans1=find(-100.0,x1);
    double ans2=find(x1,x2);
    double ans3=find(x2,100.0);
    printf("%.2lf %.2lf %.2lf",ans1,ans2,ans3);
    return 0;
}

后记

我还是太弱了，明明有公式还要硬算，算是被完爆了，
附一元三次方程求根公式
这里写图片描述