描述
扔 n 个骰子，向上面的数字之和为 S。给定 Given n，请列出所有可能的 S 值及其相应的概率。
样例
给定 n = 1，返回 [ [1, 0.17], [2, 0.17], [3, 0.17], [4, 0.17], [5, 0.17], [6, 0.17]]。
这是剑指offer的一道题，主要思想为动态规划，由于投n个骰子出现的点数为n~6n，一共为6n-n+1=5n+1个数，所以我们需要申请一个长为5n+1的辅助数组a。数字的下标[i]表示出现的和(0表示n个骰子出现的最小的和，即n)，下标对应的值a[i]表示对应的和出现的次数。
从最简单的开始，假设只有一个骰子，需要长度为6的辅助数组，每个骰子出现的次数为1，于是最后的数组a的长度为6，对应的值为[1,1,1,1,1,1]。假如有两个骰子，我们把骰子的和分为前n-1个骰子的和和第n个骰子的值的相加和，前n-1即2-1=1，即前1个的骰子的和的数组为[1,1,1,1,1,1]，由于两个骰子的和的范围为2~12，以和为10为例，10可以分为前n-1组的值+第n个骰子的值，则：
10=1+9=2+8=3+7=......=9+1
由于第二个骰子出现的值为1~6，所以10只可能由以下的值组成4+6=5+5=6+4=7+3=8+2=9+1，所以和为10出现的次数等于和为4,5,6,7,8,9的次数相加而得，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-6)，所以这就是递归规律，这里需要注意，我们需要一个新的临时数组tmp来保存生成的值，最后再把tmp的值重新赋值给a。所以程序的思想如下，如果n=1，则通过递推公式构造数组a的0~5(下标)的数，如果n=2，则先构造0~5，再通过0~5构造0~10的数（因为2个骰子出现的和为2~12，归一到下标为0即0~10），往后以此类推。最后需要注意的一点是，由于在递归过程中数组的值（出现的次数）是指数次的增加，所以辅助数组需定义为long long，否则如果定义为int则会溢出（int最大为2147483647），以下为代码（c++，在lintcode上已ac）
//最后的答案返回格式为vector<pair<int, double>>
vector<pair<int, double>> dicesSum(int n) {
vector<pair<int, double>> result;
//辅助数组a
long long *array = new long long[5 * n + 1];
memset(array, 0, sizeof(long long)*(5 * n + 1));
dicesSumCore(n, array, result);
delete[] array;
return result;
}
//构造递推数组
void calculate(long long* array, int i, int n) {
//临时标量tmp，作用上文已说过
long long tmp[10001];
memset(tmp, 0, sizeof(long long)*(10001));
//sum表示第i项~第（i-6）项的和
long long sum = 0;
for (int j = 0; j <= 5 * (i + 1); j++) {
//前6项一直累加
if (j <= 5) {
sum += (array)[j];
tmp[j] = sum;
}
else {
//后面的需要减去第i-6项的值
sum += (array)[j] - (array)[j - 6];
tmp[j] = sum;
}
}
//最后把tmp的值赋给a
for (int j = 0; j <= 5 * (i + 1); j++) {
array[j] = tmp[j];
}
}
void dicesSumCore(int n, long long* &array, vector<pair<int, double>> & result) {
//初始化前6个值为1
for (int i = 0; i < 6; i++) {
array[i] = 1;
}
//如果n==1,则初始化后直接计算并赋值到result中返回
if (n == 1) {
for (int i = 0; i < 6; i++) {
pair<int, double> zy;
zy.first = i + 1;
zy.second = array[i] / pow(6, n);
result.push_back(zy);
}
return;
}
//i表示第几次递推，每次递推都构造一个n-6n的数组，注意i的下标从0开始，所以i=1表示n=2的第二次构造，构造的数组下标为0-5n（包含5n）
for (int i = 1; i < n; i++) {
//构造第i+1次递推数组
calculate(array, i, n);
//最后一次经过calculate构造后赋值到result中
if (i == n - 1) {
for (int i = 0; i <= 5 * n; i++) {
pair<int, double> zy;
zy.first = i + n;
zy.second = array[i] / pow(6, n);
result.push_back(zy);
}
}
}
}