[转载]拉格朗日乘子法如何理解？

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拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的几何意义。举个2维的例子来说明：假设有自变量 $x和y$，给定约束条件 $g(x,y)=$c，要求 $f(x,y)$在约束 $g$下的极值。我们可以画出 $f$的等高线图，如下图。此时，约束 $g=c$由于只有一个自由度，因此也是图中的一条曲线（红色曲线所示）。显然地，当约束曲线 $g=c$与某一条等高线 $f=d1$相切时，函数 $f$取得极值。两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。因此可得函数 $f(x,y)$与 $g(x,y)$在切点处的梯度（gradient）成正比。于是我们便可以列出方程组求解切点的坐标 $(x,y)$，进而得到函数 $f$的极值。

1 与原点的最短距离

假如有方程： $x^2y=3$

图像是这个样子滴：

现在我们想求其上的点与原点的最短距离：

这里介绍一种解题思路。首先，与原点距离为a 的点全部在半径为a 的圆上：

那么，我们逐渐扩大圆的半径：

显然，第一次与 $x^2y=3$ 相交的点就是距离原点最近的点：

此时，圆和曲线相切，也就是在该点切线相同：

至此，我们分析出了：
$在极值点，圆与曲线相切$

2 等高线

为了继续解题，需要引入等高线。这些同心圆：

可以看作函数 $f(x,y)=x^2 + y^2$ 的等高线：

根据梯度的性质（关于梯度可以查看如何通俗地理解梯度？），梯度向量：

是等高线的法线：

另外一个函数 $g(x,y)=x^2y$ 的等高线为：

之前的曲线 $x^2y=3$ 就是其中值为3的等高线：

因此，梯度向量：

也垂直于等高线 $x^2y=3$ ：

3 拉格朗日乘子法

3.1 求解

根据之前的两个分析：
综合可知，在相切点，圆的梯度向量和曲线的梯度向量平行：

也就是梯度向量平行，用数学符号表示为：

还必须引入 $x^2y=3$ 这个条件，否则这么多等高线，不知道指的是哪一根：

因此联立方程：
求一下试试：
这就是拉格朗日乘子法。

3.2 定义

要求函数f 在g 约束下的极值这种问题可以表示为：

$s.t.$ 意思是subject to，服从于，约束于的意思。
可以列出方程组进行求解：

用这个定义来翻译下刚才的例子，要求：
令：
求：
联立方程进行求解：

3.3 变形

这个定义还有种变形也比较常见，要求：
定义：
求解下面方程组即可得到答案：
把等式左边的偏导算出来就和上面的定义是一样的了。

3.4 多个约束条件

如果增加一个约束条件呢？比如说：

求：

从图上看约束条件是这样的：

很显然所求的距离是这样的：

那这三者的法线又有什么关系呢？ $x^2 + y^2$的法线是 $x^2y-3$ 和 $x-y-3$ 的法线的线性组合：
假设：

那么线性组合就表示为：

联立方程：

即可求解。

往更高纬度走的话，多约束条件的情况下，问题变为了 $g_1,g_2$ 围成的曲线 C 和f 相切，直观上看 $\nabla f$ 必然在 $\nabla g_1,\nabla g_2$ 张成的空间中：

这点的严格性这里就不证明了。

两条曲线相切，意味着他们在这点的法线平行，也就是法向量只差一个任意的常数乘子（取为 $-\lambda）：\nabla f(x,y)=-\lambda \nabla g(x,y)$, 我们把这个式子的右边移到左边，并把常数移进微分算子，就得到 $\nabla (f(x,y)+\lambda g(x,y))=0$。
把这个式子重新解释一下，这个就是函数 $f(x,y)+\lambda g(x,y)$无约束情况下极值点的充分条件。