matlab练习(消去变换及选主元法求逆算法)

消去变换的定义

消去变换实际上是Gauss-Jordan消去变换(G-J消去变换)的一种紧凑写法，它可以由两步完成，一步是G-J消去变换，另一步是替换，具体更多内容可见高慧璇著的《统计计算》，它的一个更贴近于代码实现的定义如下图所示。

可以看到，这个变换很容易实现，只需要就4中不同情况分别定义好相应取值即可，下面是matlab中消去变换的实现

function B = Tij(A,i,j)
[m,n] = size(A);
B = zeros(m,n);
% case 1
B(i,j) = 1/A(i,j);
% case 2
for k = [1:i-1 i+1:m]
    B(k,j) = -1*A(k,j)/A(i,j);
end
% case 3
for k = [1:j-1 j+1:n]
    B(i,k) = A(i,k)/A(i,j);
end
% case 4
for k = [1:i-1 i+1:m]
    for s = [1:j-1 j+1:n]
        B(k,s) = A(k,s) - A(k,j)*A(i,s)/A(i,j);
    end
end
end

选主元法求逆算法

按行选主元法求逆算法具体流程如下图所示，它的证明可以通过置换(可以分解为对换的乘积:\((i_1,i_2,\cdots,i_n)=(i_1\ i_2)(i_2\ i_3)\cdots(i_{n-1}\ i_n)\)，从右往左的置换)以及消去变换的性质得到

下面是matlab中的实现

function B = inv_by_Tij(A)
[~,n] = size(A);
B = zeros(n);
C = 1:n;
L = zeros(1,n);
for i = 1:n
    [~,j] = max(A(i,C));
    A = Tij(A,i,C(j));
    L(i) = C(j);
    C(C==C(j)) = [];
end
for i = 1:n
    for j = 1:n
        B(L(i),j) = A(i,L(j));
    end
end
end

总结

消去变换是一种非常有用的方法，其本质仍然是高斯消去变换，不过这种紧凑的“原地求逆”变换一方面节省了存储空间，另一方面也使得它在处理某些问题时会显得非常方便。