老卫带你学---剑指offer刷题系列(9.变态跳台阶)

9.变态跳台阶

问题：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解决：

思想：

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2) f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)

…

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明：

• 这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。

• n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

• n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)

• n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

  那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

  因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

• n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：

  f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

• 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

  f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2)

  f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

  可以得出：

  f(n) = 2*f(n-1)

然后剩下的就和之前的递归+动态规划一样了

python代码：

class Solution:
    def __init__(self):
        self.dynamic=[None]*100
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        result=self.dynamic[number]
        if(result==None):
            if(number==1):
                result=1
            elif(number==2):
                result=2
            else:
                result=self.jumpFloorII(number-1)*2
            self.dynamic[number]=result
        return result