回归模型中常用的评估指标可以分如下几类：
- MAE系列，即由Mean Absolute Error衍生得到的指标；
- MSE系列，即由Mean Squared Error衍生得到的指标；
- R²系列；
注：在英语中，error和deviation的含义是一样的，所以Mean Absolute Error也可以叫做Mean Absolute Deviation(MAD)，其他指标同理可得；
MAE系列
MAE全称Mean Absolute Error(平均绝对误差)。
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设N为样本数量，第\(i\)个样本的实际值为\(y_i\)，预测值为\(y'_i\),那么MAE的定义如下
\[ MAE = \frac{1}{N}\sum^N_{i=1}|y_i-y'_i| \]
由MAE衍生可以得到：
- Mean Absolute Pencentage Error(MAPE，平均绝对百分比误差)，相当于加权版的MAE.
\[ MAPE = \frac{1}{N}\sum^N_{i=1}\biggl|\frac{y_i-y'_i}{y_i}\biggr| \]
MAPE可以看做是MAE和MPE(Mean Percentage Error)综合而成的指标
\[ MPE = \frac{1}{N}\sum^N_{i=1}\frac{y_i-y'_i}{y_i} \]
从MAPE公式中可以看出有个明显的bug——当实际值\(y_i=0\)时就会得到无穷大值(实际值\(|y_i|<1\)时也会过度放大误差)。为了避免这个bug，MAPE一般用于实际值不会为0的情形。
Sungil Kima & Heeyoung Kim(2016)提出MAAPE(mean arctangent absolute percentage error) 方法，在保持MAPE的算法思想下克服了上面那个bug(更多参考 A new metric of absolute percentage error for intermittent demand forecasts,Sungil Kima & Heeyoung Kim, 2016).
\[ MAAPE = \frac{1}{N}\sum^N_{i=1}arctan\biggl(\biggl|\frac{y_i-y'_i}{y_i}\biggr|\biggr) \]
考虑Absolute Error \(|y_i-y'_i|\)可能存在Outlier的情况，此时Median Abosulte Error(MedAE, 中位数绝对误差)可能是更好的选择。
\[ MedAE=\underset{i=1,...,N}{median}|y_i-y'_i| \]
MSE系列
MSE全称Mean Squared Error(均方误差)，也可以称为Mean Squared Deviation (MSD).
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\[ MSE = \frac{1}{N}\sum^N_{i=1}|y_i-y'_i|^2 \]
由MSE可以衍生得到均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE, 或者RMSD)
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\[ RMSE=\sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}|y_i-y'_i|^2} \]
RMSE可以进行归一化(除以全距或者均值)从而得到归一化的均方根误差(Normalized Root Mean Square Error, NRMSE).
\(NRMSE = \frac{RMSE}{y_{max}-y_{min}}\)
或者
\(NRMSE = \frac{RMSE}{\overline{y}}\)
RMSE还有其他变式：
- RMSLE(Root Mean Square Logarithmic Error)
\[ RMSLE = \sqrt{\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}\bigl|log(y_i+1)-log(y'_i+1)\bigr|^2} \] - RMSPE(Root Mean Square Percentage Error)
\[ RMSPE=\sqrt{\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}\biggl|\frac{y_i-y'_i}{y_i}\biggr|^2} \]
对于数值序列出现长尾分布的情况，可以选择MSLE(Mean squared logarithmic error，均方对数误差)，对原有数据取对数后再进行比较(公式中+1是为了避免数值为0时出现无穷值).
\[ MSLE = \frac{1}{N}\sum^N_{i=1}\bigl|log(y_i+1)-log(y'_i+1)\bigr|^2 \]
R²系列
R²(R squared, Coefficient of determination)，中文翻译为“决定系数”或者“拟合优度”，反映的是预测值对实际值的解释程度.
注意：R²和相关系数的平方不是一回事(只在简单线性回归条件下成立)
\[ \begin{aligned} R^2 & = 1-\frac{SS_{res}}{SS_{tot}} \\ & = 1-\frac{\sum^N_{i=1}(y_i-y'_i)^2}{\sum^N_{i=1}(y_i-\overline{y})^2} \\ \end{aligned} \]
其中\(\overline{y}=\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}y_i\)，总平方和\(SS_{tot}\)= 回归平方和\(SS_{reg}\)+残差平方和\(SS_{res}\).
\(SS_{tot} = \sum^N_{i=1}(y_i-y'_i)^2\)
\(SS_{res} = \sum^N_{i=1}(y_i-\overline{y})^2\)
\(SS_{reg} = \sum^N_{i=1}(y'_i-\overline{y})^2\)
回归模型中，增加额外的变量会提升R²，但这种提升可能是虚假的，因此提出矫正的R²(Adjusted R²，符号表示为\(R^2_{adj}\)或者\(\overline{R}^2\))来对模型中的变量个数进行“惩罚”(\(R^2_{adj} \leq R^2\))。
\[ R^2_{adj} = 1-(1-R^2)\frac{N-1}{N-1-P} \]
公式中\(P\)表示回归模型中变量(特征)的个数。和\(R^2\)计算方式很相近的另一个指标是Explained Variance Score.
设\(e_i = y_i-y'_i, \overline{e}=\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}e_i\),则有
\[ \begin{aligned} explained_variance & = 1-\frac{var(y-y')}{var(y)} \\ & = 1-\frac{\sum^N_{i=1}(e_i-\overline{e})^2}{\sum^N_{i=1}(y_i-\overline{y})^2} \\ \end{aligned} \]
更多关于R²参考 ：
- https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_determination
- https://blog.minitab.com/blog/adventures-in-statistics-2/regression-analysis-how-do-i-interpret-r-squared-and-assess-the-goodness-of-fit
- https://www.displayr.com/8-tips-for-interpreting-r-squared/
综上，在选用评价指标时，需要考虑:
- 数据中是否有0，如果有0值就不能用MPE、MAPE之类的指标；
- 数据的分布如何，如果是长尾分布可以选择带对数变换的指标，中位数指标比平均数指标更好；
- 是否存在极端值，诸如MAE、MSE、RMSE之类容易受到极端值影响的指标就不要选用；
- 得到的指标是否依赖于量纲(即绝对度量，而不是相对度量)，如果指标依赖量纲那么不同模型之间可能因为量纲不同而无法比较；
更多关于指标选择可以参考A Survey of Forecast Error Measures(2013) 这篇文章。
参考资料：
- https://machinelearningmastery.com/metrics-evaluate-machine-learning-algorithms-python/
- A Survey of Forecast Error Measures, 2013
- http://www.damienfrancois.be/blog/files/modelperfcheatsheet.pdf
- https://scikit-learn.org/stable/modules/model_evaluation.html
- A new metric of absolute percentage error for intermittent demand forecasts,Sungil Kima & Heeyoung Kim, 2016
- Accuracy in forecasting: A survey, Essam Mahmoud, 1984