ベルヌーイ検定、二項分布

ベルヌーイの実験

実験 E の可能な結果が 2 つだけである場合: $あ$ (発生する) と $\bar{A}$ (発生しない)、 $あ$ 逆イベント）の場合、E は ベルヌーイ試行と呼ばれます。

仮に $あ$ が $P(A)=p$ の確率で発生するとします。ここで、 $0$ 、その後 $\bar{A}$ 発生確率は $P(\bar{A})=1-p$ です。

実験 E を独立して n 回繰り返すことは、n 倍ベルヌーイ試行と呼ばれます。

繰り返し: は、各試行での確率 $p$ が同じであることを意味します。たとえば、コインを投げた場合、それが出る確率は毎回同じです。置換サンプリングでは、毎回赤いボールを引く確率は変わりません。 しかし、置換なしでサンプリングが行われる場合、赤いボールを引く確率は毎回変わります。

独立: は、各テストの結果が互いに影響を与えないことを意味します。たとえば、コインを投げる場合、結果は相互に影響しません。置換サンプリングでは、毎回の結果が相互に影響を与えることはありません。 しかし、非置換でサンプリングした場合、毎回の結果が相互に影響を及ぼします。

n 倍ベルヌーイ試行では、 $私$ 回目の試行の結果が $C_{i}$ であると仮定します。ここで、 $C_{i}$ $あ$ または $\bar{A}$ と同等、独立性は次のことを意味します:

$P(C_{1}C_{2}\cdots C_{n})=P(C_{1})P(C_{2})\cdots P(C_{n})$

n 倍ベルヌーイ試行では、確率変数 $バツ$ がイベント $あ$ が発生する回数を表すと仮定すると、その確率は次のようになります。

$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ 、で $k=0,1,2,\cdots,n$

確率変数 $バツ$ は、パラメータ n と p の二項分布に従い、 $X\sim b(n,p)$ として記録されます。

備考:上記の式が二項分布と呼ばれる理由は、 $C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ が二項分布と正確に等しいためです。 $(p+q)^{n}$ 展開に $p^{k}$ を含む用語 (1-p を q に置き換えます)。

n=1 の場合、テストが 1 つだけ実行されたことを意味し、上記の式は次のようになります。

$P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}$ 、で $k=0,1$

これは(0-1)の分布になります。したがって、(0-1) 分布は二項分布の特殊なケースです。