PT@ベルヌーイ プロファイル@ベルヌーイ プロファイルの古典的なプロファイル

抽象的な

• ベルヌーイ スキームは、独立したイベントの概念と n 倍のベルヌーイ実験を組み合わせた古典的なスキームです。

ベルヌーイ プロファイル

• ベルヌーイの概念は、ベルヌーイの実験に基づいた古典的な概念の一種です。
• この種の概念の同等の可能性は、$n$プレックス ベルヌーイ テスト種のさまざまな結果は同様に発生する可能性がありますが、単一プレックス ベルヌーイ テストの 2 つの結果の確率は必ずしも等しいとは限りません。

ベルヌーイ裁判

• 実験 E のサンプル空間に対向するサンプル点が 2 つだけある場合: $あ、\overline{あ}$の場合、テスト E はベルヌーイ テストです。
• サンプル点の確率関係: $P\left(A\right)=p$ ,则$P\left(\overline{あ}\right)=1-p$

n 倍ベルヌーイ試行

• テスト E** が独立して n 回繰り返される場合、これらの n 回は新しいテスト** を構成し、この新しいテストは$n$倍ベルヌーイ検定
• 注記：
  • 複製とは、各ベルヌーイ試行においてP ( A ) = p P (A) = pを意味します。$P\left(A\right)=p$は変化しない
  • 独立とは、各テストの結果が互いに影響を与えないことを意味します。
    • 若$C_{}$ii代目を代表する$i$ベルヌーイ検定の結果、$C_{}\in \{あ、\overline{あ}\}$ ,$私=1、2、\cdots 、n$ ;$P\left(C_{}\cdots C_{}\right)$ =$P\left(C_{}\right)\cdots P\left(C_{}\right)$
  • 基本テストが n 回繰り返されるたびに、テストは 1 回完了したと見なされます。n重伯努利试验
• n 倍ベルヌーイ試行はベルヌーイ プロファイルとも呼ばれ、$Eとマークされています{}^n$

例

• 试验$E_{}$これは、コインを投げたときに観察できる表と裏です: $あ、\overline{あ}$結果がそれぞれプラスとマイナスであることを示します。
• 试验$E_{}$AAの場合は駒を投げることです$A\; は$「1 ポイントを獲得」を意味します。A$\overline{あ}$「1ポイントではない」ことを示します
• $E_{}、E_{}$それはすべてベルヌーイの実験です
• E 1 、E 2の場合$E_{}、E_{}$各実行$n$回、それぞれの$n$重Bernoulli试验$E_1^{}、E_2^{}$

サンプル空間

• $E^n$のサンプル空間
  • 记${おお}_{}$为第$i$基本的なベルヌーイ検定の結果、${おお}_{}\in \{あ、\overline{あ}\}$
  • そして、ある検定の結果 (サンプル点) は、$おお=\left({ああ}_{}\cdots {おお}_{}\right)$ ;
  • そして、もしω \omegaんん$\omega$$n\; 個の$基本テストで$kAA\_$ _$A$、次に残りの$n-k\; 個の$基本実験はすべて$\overline{あ}$
  • サンプル空間内のサンプル数は$2^n$
    • ${おお}_{}$2 つの値があります。i $私=1、\cdots 、n$、だから$\omega$の値は2 n 2^{n}です$2^n$
    • または、次のように計算することもできます: ${\sum }_{i=0}^{}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{私}\right)$ =$(1+1{)}^n$ =$2^n$

サンプル空間の重要な区分

• たまたま現れたときにkk を入れてもいいかもしれません$k$次$A$的$E^n$回のトライアルはイベントB k B_{k}として記録されます。$B_{}$,则$B_{}、B_{}、\cdots 、B_{}$形式$E^n$サンプル空間
• 根据$おお=\left({ああ}_{}\cdots {おお}_{}\right)$中${おお}_{}、{おお}_{}$、$私\ne$ω = ( ω 1 ⋯ ω n ) \omega=(\omega_1\cdots \omega_n)$の場合、\; j$は互いに独立しています。$おお=({ああ}_{}\cdots {おお}_{}）$ kkが含まれています$kAA\_$ _$A$ ,andP$P\left(A\right)=p、P\left(\overline{あ}\right)=1-p=q$ ,$E^n$のサンプル点$\omega$が発生する確率は
  • $ぷ(・\omega ・)=P\left(o_{}\cdots {おお}_{}\right)={\prod }_{i=1}^{}P\left(o_{}\right)$ =$p^{kq}{\_}^{n-k}$、

n 倍ベルヌーイ テストに k 回成功しました

• 単一重みベルヌーイ テストの結果が$A\; は$成功とみなされ、その後$n$倍ベルヌーイ テストが表示されます$k$次$Aは$成功したとみなされます$k$回、つまり$B_{}$起こる

• イベント$B_{}$に含まれるサンプル点の数は$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{k}\right)$、各サンプル点の発生確率は同じです。

  • $P\left(B_{}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{k}\right)p^{kq}{\_}^{n-k}$

• B k B_kも可能$B_{}$対応するベルヌーイ検定の多重度$n$ 、 B k ( n ) B_{k}^{(n)}として記録される$B_k^{(n}$または$B_{}(n=4)$

例

• 利用$P\left(B_{}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{k}\right)p^{kq}{\_}^{n-k}$、特定の問題を計算するため

  • 4 つの独立した反復実験で、イベント A が少なくとも 1 回発生する確率が 0.5904 であると仮定します。
  • それでは、イベント A が 3 回の独立した試行に 1 回発生する確率はどれくらいでしょうか?

• ほどく

  • $B_k^{}$={イベント A は n 回の独立した試行で正確に k 回出現します}

  • 明らかに、A は 4 つの独立した反復実験で 0 回出現します (イベントB 0 4 B_0^{4}に対応)$B_0^{}$確率は$1-0.5904=0.4096$

  • 注: $P\left(A\right)=p$ ;

  • $P\left(B_0^{}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{0}\right)p^{0q}{\_}^4$ =0.4096

    • $q^4$ =$2^{12}\times 10^{-4}$ =$(2^3{)}^4\times {(10^{-1}）}^4$ =$0.8{\_}^4$
    • q = 0.8 q=0.8を得るために解く$q=0.8$なので、$p=0.2$

  • この場合、イベント A が 3 回の独立した試行に 1 回発生する確率は次のようになります。

    • $P\left(B_1^{}\right)$ =$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{1}\right)p^{1q}{\_}^2=3\ast 0.2\ast 0.64=0.384$

例

• A と B がターゲットに当たる確率がそれぞれ$0.8、0.6$
• 2 人がそれぞれ 3 回投票すると、イベントは$A$ : 2 人が同じ数のショットを打つ確率はどれくらいですか?
  • 可能なヒット数は次のとおりです: $k$ =0,1,2,3
• 设$B_{}、C_{}$: それぞれ A と B が$i$个球、$\{B_{};私\in 私\}$ ,$\{C_{};私\in 私\}$ ,$私=\{1、2、3\}$はサンプル空間のすべての部分です
• 则$あ={\bigcup }_{i=0}^{}{B}_{}{C}_{}$、さらに$\left(B_{}{C}_{}\right)\left(B_{}{C}_{}\right)=$$\left(B_{}{B}_{}\right)\left(C_{}{C}_{}\right)$ =$\varnothing$ ,$私\ne j$$;そして、$ B_i、C_i$ は互いに独立しているため、次のようになります。
  • $P\left(A\right)$ =${\sum }_{i=0}^{}P\left(B_{}{C}_{}\right)$ =${\sum }_{i=0}^{}P\left(B_{}\right)P\left(C_{}\right)$ =${\sum }_{i=0}^{}\left(\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{私}\left)0.8{\_}^{と}0.2{\_}^{3-i}\right)\left(\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{私}\left)0.6{\_}^{と}0.4{\_}^{3-i}\right)$=$0.305$

例

• 2つのサイコロを同時に投げる

  • イベントA=｛出現したポイントの合計は7です｝
  • イベントB=｛出現ポイントの合計は9｝

• 1回投げたからといって必ずしもA、BA、Bになるわけではないことに注意してください。$あ、Bは$起こらないかもしれない、 kkを投げる必要があるかもしれない$k$次,$A$または$B$が起こる可能性がある

• イベント C = {イベント A がイベント B の前に発生する} として、$C$が起こる確率はどれくらいですか?

• テストを投げましょう$k$番目のサイコロの観測点の合計。次の 3 つのイベントには、k 番目のサイコロを投げる可能性のあるすべてのイベントが含まれ、サンプル空間の分割を形成します。

  • ${あ}_{}$={A は k 回目の試行で発生します}

    • $P\left(A_{}\right)=\frac{}{36}=\frac{}{6}$
      • (1,6);(2,5);(3,4);(4,3),(2,5),(6,1) 合計 6 つの可能性

  • $B_{}$={B は k 回目の試行で発生します}

    • $P\left(B_{}\right)=\frac{}{36}=\frac{}{9}$
      • (3,6);(4,5);(5,4);(6,3) 合計 4 つの可能性

  • $C_{}$={k 回目の試行では A と B は発生しませんでした}

    • すると、$C_{}=\overline{{あ}_{}\cup B_{}}$= $\overline{{あ}_{}}\overline{B_{}}$

    • $P\left(C_{}\right)=1-P\left(\overline{C_{}}\right)=1-P(A_{}\cup B_{})$ =$1-\left(P\right(A_{})+P(B_{})-P(A_{}{B}_{}))$

    • A k , B kなので${あ}_{}、B_{}$相互に排他的です。$P\left(C_{}\right)=1-\left(P\right(A_{})+P(B_{}))=\frac{}{18}$

  • イベント$C\; の$オカレンスは、次の相互に排他的なイベント。

    • ${あ}_{}$
    • $C_{}{あ}_{}$
    • $C_{}{C}_{}{あ}_{}$
    • $\cdots$
    • $C_{}\cdots C_{n-}{あ}_{}$
    • $\cdots$

  • 显然${あ}_{}、\cdots 、{あ}_{}$独立したイベントであり、発生確率は等しく、両方とも$\frac{}{6}$

  • 同様に、$B_{}、\cdots 、B_{}$発生確率は$\frac{}{9}$; $C_{}、\cdots 、C_{}$発生確率は$\frac{}{18}$

  • そして${あ}_{}、B_{}、C_{}$、( $私、j、k$は互いに等しくありません) 互いに独立しています (つまり、$i$番目の出現の結果は、i+1 i+1 には影響しません。$私+1回目$以降の試験結果）

• ${あ}_{}、B_{}、C_{}、$ k 回目の試行のサンプル空間の分割を構成し、それらは相互に排他的です。

• 令$T\left(k\right)=\left(\bigcap _{i=0}^{k-}{C}_{}\right){あ}_{}$; $k=1、\cdots$、および$C_{}=1$、たとえば$T\left(1\right)={あ}_{}$; $た\left(3\right)=C_{}{C}_{}{あ}_{}$

• $$\begin{gathered} C=\bigcup _{k=1}T\left(k\right)=\bigcup _{k=1}\left(\left(\bigcap _{i=0}^{k-}{C}_{}\right){あ}_{}\right) \\ T\left(i\right)T\left(j\right)=\varnothing ;私\ne j \end{gathered}$$

• 则$P\left(C\right)=\sum _{k=1}P\left(T\right(k))$、そして独立事象の特性に従って$P\left(T\right(k))=\left({\prod }_{i=1}^{k-}P\right(C_{}))P\left(A_{}\right)$ =$(\frac{}{18}{)}^{k-1}\frac{}{6}$

• $P\left(C\right)$ =${\sum }_{k=1}^{}(\frac{}{18}{)}^{k-1}\frac{}{6}$= $\frac{}{6}{\sum }_{k=1}^{}(\frac{}{18}{)}^{k-1}$ =$\frac{}{6}\frac{}{1-\frac{}{18}}$= $\frac{}{5}$

• 実際、どの実験でも$P\left(A\right)=\frac{}{6}$, $P\left(B\right)=\frac{}{9}$; イベント D: $A$または$B$が発生し、その後イベント$C$いわゆる$A\; は$BB の前にあります$B$の発生は、D のすべてのケースでAABB が発生している間に$Aが発生します$$B$は起こらない

• したがって、$P\left(C\right)=\frac{\frac{}{6}}{\frac{}{6}+\frac{}{9}}$= $\frac{}{5}$

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