彼はテストCTS2019とAPIO2019を取ったまでは小さなピンクのウサギはもともと数学（数論、カウント）の知識でより興味があった、
彼の数学的なデータ構造を見つけることさえない方法として良い学ぶので、彼は彼自身を閉じていませんでした。
数になって、式をプッシュすることになりましたCNOIから考慮すると、小さなピンクのウサギが涼むする可能性があります。
今、あなたはまだ（？）解決するための時間を持っていることがあり、そこで彼は死んで救出しようとする数式の一部のレベルを押しました。
注意：以下の内容は極めて低い終わりである、唯一の数学OIerで最低レベルを反映し、慎重に読んでください！
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そのようなものを計算する検討：\（\ DisplayStyle \ sum_ 1 = {I}} ^ {N-I ^ K \。） 。
即ち前\（N- \）正の整数パワー、及び前記\（\ 0ルK \ル。6 10 ^ \）、\ （1 \ N-LE \ル18は、10 ^ {ある} \）と整数です。
セット\（\ DisplayStyle S_K（N）= \ sum_ {I = 1} ^ {N-} I ^ K \）を、そのためには明らかである（\ \のmathbb {N}でK \ \）、\ （S_K（X）\ ）約ある\（X \） 1 \（K + 1 \）次の多項式。
いくつかの例：
- \（\ displaystyleのS_0（N）= \ {N}オーバー{\ overbrace {1 + 1 + \ cdots + 1} = N = \ \左\ {\左mathbf {OGF} [0,1 \右] \右\} \） 。
- \（\ displaystyleのS_1（N）= 1 + 2 + \ cdots + N = \ FRAC {N（N + 1）} {2} = \ FRAC {1} {2}のn + \ FRAC {1} {2} n個^ 2 = \ mathbf {OGF} \左\ {左\ [0、\のFRAC {1} {2}の\ FRAC {1} {2} \右] \右\} \）。
- \（\ displaystyleのS_2（N）= 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ cdots + N ^ 2 = \ FRAC {N（N + 1）（2N + 1）} {6} = \ FRAC {1} {6 }のn + \ FRAC {1} {2}のn ^ 2 + \ FRAC {1}、{3}のn ^ 3 = \ mathbf {OGF} \左\ {\左[0、\のFRAC {1} {6}、\ FRAC {1} {2}の\ FRAC {1}、{3} \右] \右\} \）。
- \（\ displaystyleのS_3（N）= 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + \ cdots + N ^ 3 = \ FRAC {N ^ 2（N + 1）^ 2} {4} = \ FRAC {1} {4} N ^ 2 + \ FRAC {1} {2}のn ^ 3 + \ FRAC {1} {4} N左^ 4 = \ mathbf {OGF} \左\ {\ [0,0、\のFRAC {1} { 4}の\ FRAC {1} {2}の\ FRAC {1} {4} \右] \右\} \）。
どのように見つけるために\（S_K（N）\）それ？
観察された\（S_Kは、（N）\）の数含まれて\（I ^ K \）関数同様の特徴、発生特定の会合で生じ得る、
など\（\ displaystyle \ mathbf {OGFを左} \ \ {\左[1、 ^ 2、^ 3、\ ldots、右\]右\ \} = \ FRAC {1} {1-AX} \） または\（\ displaystyle \ mathbf {EGF } \左\ {\左[1、A、2 A ^ A ^ 3、\ ldots \右] \右\} ^ = E {} AX \）。
私たちは、使用したい\（：AX E ^ {} \ EGFの\ mathbf {}）を。
検討\（\ DisplayStyle \ハット{G}（N、X）= \ sum_ {K = 0} ^ {\ inftyの} \ {K！} X ^ K \ {S_ {K}（N-）の} FRAC） 、すなわち\（\ EGFのmathbf} {\左\ {\左[S_0（N-）、S_1（N-）、S_2（N-）、\ ldots \右] \右\} \）は、以下の式：
\ [\ {整列} \帽子{G}（N、X）＆= \ sum_ {k = 0} ^ {\ inftyの} \ FRAC {S_ {K}（n）を}開始{K！} X ^ K \ \＆= \ sum_ {k = 0} ^ {\ inftyの} \ FRAC {\ sum_ {i = 1} ^ {n}はI ^ K}、{K！} X ^ K \\＆= \ sum_ {i = 1 } ^ {N} \ sum_ {k = 0} ^ {\ inftyの} \ FRAC {I ^ K}、{K！} X ^ K \\＆= \ sum_ {i = 1} ^ {n}は、E ^ {IX } \端{整列} \]
最後の\（\ displaystyle \ sum_ {I = 1} ^ {n}は、E ^ {IX} \） ように簡略化することができます。
\ [\開始{整列}（1-E ^ { - X}）\ハット{G}（N、X）＆= \ sum_ {i = 1} ^ {n}は、E ^ {IX} - \ sum_ {I = 1} ^ {n}は、E ^ {（I-1）X} \\＆= \ sum_ {i = 1} ^ {n}は、E ^ {IX} - \ sum_ {i = 0} ^ {N-1 } E ^ {IX} \\＆= E ^ {NX} -1 \\\従って\帽子{G}（N、X）＆= \ FRAC {E ^ {NX} -1}、{1-E ^ {整列-x}} \端{} \]
次に\（S_Kは、（N）\）に等しい\（Kを！[X ^ K] \ハット{G}（N、X）\） 、それに等しい\ displaystyleのK！[X（\ ^ K] \ FRAC {\ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {\ inftyの} \ FRAC {N ^ {I + 1}}、{（I + 1）！} X ^ I} {\ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {\ inftyの} \ {FRAC（ - 1）。1} + I {^} {（I + 1）} I} X ^ \）！。
従って月（\ mathcal {O}（Mの \ログM）\）\ 時間以内に、得られた逆畳み込み多項式\（N- \）固定\（0 \ルK <Mを \） すべて\（S_K（N-）\） 。
前に、我々は言及\（S_K（x）は\）約ある\（X \）される（K + 1 \）\、次多項式を固定仮定\（k個の\）は、この多項式を得ることができますか？
もちろん、我々はできません\（1 \ルK \ル Mの\） すべて\（K \） 、なぜなら多項式のすべての係数を決定\（\ mathcal {O}（ M ^ 2）\） 係数。
まだ調査\（\ハット{G}（N、X）\） 、我々は望ましいものと書き込む（\ \ N-）生成機能とAとの独立した（N ^ iは\）\生成関数を関連製品。
検討\（^ {E} = EGFのNXの\ mathbf} {\左\ {\左[1、N - 、^ N-2、N-^ 3、\ ldots \右] \右\} \）、ノート\を（\帽子{G}（N、X ）\） 分子の単純な考えに従う、この数式を含みます。
\ [\開始{整列} \帽子{G}（N、X）＆= \ FRAC {E ^ {NX} -1}、{1-E ^ { - X}} \\＆= \左（\ FRAC { XE ^ X} {E ^ X-1} \右）\左（\ FRAC {E ^ {NX} -1}、{X} \右）\端{整列} \]
则右边：\（\ displaystyleの\のFRAC {E ^ {NX} -1}、{X} = \ mathbf {EGF} \左\ {\左[N、\のFRAC {N ^ 2}、{2}、\のFRAC { N ^ 3} {3}、\ ldots \右] \右\} \）。
生成機能は、対応する段の左側に設けられている（Bの\）\、すなわち：
\ [\ FRAC {XE ^ X} {E ^ X-1} = \帽子{B}（X）= \ mathbf {EGF} \左\ {\左[B_0、B_1、B_2、\ ldots \右] \ \右} = \ sum_ {i = 0} ^ {\ inftyの} \ FRAC {B_i} {私！}のx ^ I \]
私たちは2つのコンボリューションの形で式を書き、指数関数の積が発生した畳み込み対応する2つのシリーズに対応していることを知っています：
\ [\開始{整列} \帽子{G}（N、X）＆= \帽子{B}の\ FRAC {N ^ 2}、N [左（X）\ CDOT \ mathbf {EGF} \左\ {\ {2}、\のFRAC {N ^ 3} {3}、\ ldots \右] \右\} \\\従って\ FORALL K \ GE 0、S_K（N）＆= \ sum_ {J = 0} ^ { K} \ binom {K} {J} B_j \ FRAC {N ^ {K-J + 1}}、{K-J + 1} \\\従って\ sum_ {i = 1} ^ {n}はI ^ K＆= \ FRAC {1} {K + 1} \ sum_ {J = 0} ^ {K} \ binom {K + 1} {J} B_jn ^ {K-J + 1} \端{整列} \]
最終的な式が得られる：\（\ DisplayStyle \ sum_ 1 = {I}} ^ {N-K ^ I = \ {FRAC 1 1 + K {}} \ sum_ J = {0} ^ {K} \ {Binom J. 1} + {K} B_jn ^ {K} 1-J + \）。
前記\（B \）は、 "ベルヌーイ"と呼ばれている：\ （EGFの\ DisplayStyleの\ mathbf} = \ {XE FRAC ^ E ^ {X}} {\は\ B {\右\左} 1-X。 \） 。
かつて\（15 \）キーは、次のとおりです。
\ [\ \ {整列} B_0＆= 1＆B_1＆=を開始FRAC {1} {2}＆B_2＆= \ FRAC {1} {6}＆B_3＆= 0＆B_4＆= - \ FRAC {1} {30} \\ B_5＆= 0＆B_6＆= \ FRAC {1} {42}＆B_7＆= 0＆B_8＆= - \ FRAC {1} {30}＆B_9＆= 0 \\ B_ {10}＆= \ FRAC {5} {66}＆B_ {11}＆= 0＆B_ {12}＆= - \ FRAC {691} {2730}＆B_ {13}＆= 0＆B_ {14}＆= \ FRAC {7} {6} \端{整列} \]
見やすいことに加えて\（\ displaystyle B_1 = \ FRACは、 {1} {2} \） 同様に、他の奇数位置である\（0 \） 。
ベルヌーイ数を見つける方法を考えてみましょう。
生成機能の観点から、あります！。\（\ DisplayStyle B_N = N- [X ^ N - ] \ FRAC {\ DisplayStyle \ sum_ {I = 0} ^ {\ inftyの} \ FRAC {1} {I} X ^！ } {I \ DisplayStyle \ sum_ I = {0} ^ {\ inftyの} \ {FRAC。1} {（私は+ 1）！} I} X ^ \）。
多項式と逆畳み込み使用することが望ましい（\ \ mathcal {O}（ N Nログ\）を\） 複雑さが決定された時間の前に\（N- \）方法ベルヌーイ数。
行う方法を、多項式書きたくない、ベルヌーイ数を聞いてみませんか？
私たちが次の式を考え、再帰関数を生成することにより、起動に対抗することができ、重要ではありません。
\ [\ {整列}開始\帽子{B}（X）\ CDOT \ FRAC {E ^ X-1} {X}＆= E ^ X \\\ mathbf {EGF} \左\ {Bの\右\} \ CDOT \ mathbf \左\ {EGF} {\左[1、\のFRAC {1} {2}の\ FRAC {1} {3}、\ ldots \右] \右\}＆= \ mathbf {EGF} {左\ [1,1,1、\ ldots \右] \右\} \左\ \\\ sum_ {i = 0} ^ {N} \ binom {n}は{I} B_iの\ FRAC {1} { N-iは、+ 1}＆= 1 \\\ sum_ {i = 0} ^ {N} \ binom {N + 1} {I} B_i＆= N + 1つの\端{整列} \]
次いでする（B_0 = 1 \）\再帰式に従って境界として\（\ displaystyle B_N = 1- \ FRAC {1} {N + 1} \ sum_ {i = 0} ^ {N-1} \ binom { {I}。1 + N-B_i} \） 、
計算に順次\（B_i \） 、仮定が前に対処する必要のある値）\（Mの\ベルヌーイ数、複雑番目\（\ mathcal {O} （M ^ 2）\） 。
参考：
ベルヌーイナンバー、ウィキペディア。
方法＃3簡単なリハビリプログラムのいくつかの一般的なコンピューティングパワーと自然数、MoebiusMeow。
@ _RqyはユニバーサルOJのユーザーグループに答えます。