整数計画法 - 第 2 章 線形計画法

整数計画法 - 第 2 章 線形計画法

2.1 予備的な凸解析

2.1.1 凸集合と分離定理

定義 2.1集合$C\subseteq R^n$、 x の場合$\times 、y\in C$和$私\in [0,1]$，有
$$\lambda \times +(1-l)y\in C、$$

CCといいます$C$は凸集合です。

凸ジオメトリでは、凸セットは、凸の組み合わせの下で閉じられたアフィン空間のサブセットです。より具体的には、ユークリッド空間では、凸集合は、集合内のすべての点のペアについて、その点のペアを接続する直線セグメント上のすべての点も集合内に含まれるようなものです。たとえば、立方体は凸集合ですが、中空のものや三日月などのくぼみがあるものは凸集合ではありません。

定理 2.1 C ⊆ R n C\sube \R^n と仮定します$C\subseteq R^n$は空ではない閉じた凸集合、$y\in R^n、y\notin C$では、

1. C に一意の点$\overline{バツ}\in C$，使用
   $$||\overline{バツ}-y||\_=inf\{||x-y|||x\in C\}$$

   数学表記では、「inf」は「infimum」を表し、数学的解析と集合論の概念です。セットの下限は、セットの下限における最大の実数です。簡単に言うと、セット内のすべての数値以下の最小の実数です。

   この定理は、指定された点yyを持つ空ではない閉じた凸集合が存在することを示しています。$y$は最も近い点であり、この点は一意です。

2. $\overline{バツ}\in C$は点$y$でCCを設定$C$の最近点の必要十分条件は
   $$(\times -\overline{バツ}{)}^T(\overline{バツ}-y)\ge 0、\forall \times \in C\text{\hspace{1em}( 2.1 )}$$

定理 2.2 凸集合分離定理 设$C\subseteq R^n$は空ではない閉じた凸集合、$y\in R^n、y\notin C$の場合、非ゼロベクトル$ある\in R^n$と数値$\beta$使得
$${ある}^{\text{T}}\times \le b<{ある}^{\text{タイ}}、\_\forall \times \in 具体的には$$
:

• $a$は超平面を定義する非ゼロのベクトルです。
• $\beta$は実数で、超平面が${ある}^{\text{T}}x$のオフセット
• コレクション$C$の$x$、それらはすべてこの超平面の片側にあり、超平面は点$y$と$C。$ _

この定理は、凸集合$C$ 和点 $y$の間にはyy超平面があります$y$とセット$C$は完全に分離されています、つまり点$y$は超平面の一方の側にあり、集合はもう一方の側$C.\_$ _ この超平面は線として見ることができます ($n=2$ ) または平面 ($n=3$ ) または高次元空間の超平面。

2.1.2 多面体の基礎知識

定義 2.2 S ⊆ R n S\sube R^nの場合$S\subseteq R^{n\; が}$有限数の半角スペースの交点である場合、それは$S$は多面体、つまり$S=\{\times \in R^n|a_{私}^{}\le b_{}、私=1、...、m\}$，这里 $ある\in R^n、あい\ne 0、b_{}\in R$

多面体が閉じた凸集合であることが簡単にわかります。A ∈ R m × n , b ∈ R m A∈\R^{m\times n},b∈R^m とします。$あ\in R^{m\times n}、b\in R^m$の場合、次の集合はすべて多面体です:
$$\begin{array}{rl}& S=\{\times \in R^n|Ax\le b\}、\\ & S=\{\times \in R^n|Ax=b、バツ\ge 0\}、\\ & S=\{\times \in R^n|Ax\le b、バツ\ge 0\}\end{array}$$

多面体は、(有限数の) 線形方程式と不等式の解のセットです。

半空間は、超平面と特定の側にあるそのすべての点によって形成される領域です

定義 2.3 S ⊆ R n S\sube \R^n とする$S\subseteq R^n$は空ではない凸集合、$バツ\in S.\_$ _ 任意の$私\in (0,1)$と${バツ}_{}、{バツ}_{}\in S$、$バツ=\lambda {\times }_{}10(1-\lambda )x_{}$x 1 = x 2 = x x_1=x_2=x と推定できます。${バツ}_{}={バツ}_{}=x$の場合、 xxと呼ばれます$\times$はSSです$S$の頂点。

つまり$C$には、 xx2 つの異なる点は存在しません。$x\; は$これら 2 点を結ぶ線上の点になり、$x$は頂点です。

定義 2.4 S ⊆ R n S\sube \R^n とする$S\subseteq R^n$は空ではない凸集合、$d\in R^n$。任意の$バツ\in S$ 和 $私\ge 0\; は$x + λ d ∈ S x+λd∈Sを持ちます$バツ+\lambda d\_\in S$の場合、それは$d$はSSです$S$の方向です。任意の${私}_{}、{私}_{}>0$と$S$の方向$d_{}、d_{}$、$d={私}_{}{d}_{}+{私}_{}{d}_{}$d 1 = α d 2 d_1=\alpha d_2 と推定できます。$d_{}=\alpha d{\_}_{}$、ここで、$ある>0$の場合はddと呼ばれます$d$はSSです$S$の極方向。($S$方向$d\; が$集合の 2 つの異なる方向の正の線形結合として表現できない場合、それは$d$はSSです$S$の極方向。)

直観的に言えば、極方向は凸集合SSとみなすことができます。$S$ x 0 x_0の境界点${バツ}_{}$の「最も伸びる方向」。極方向では、その方向に無限に遠くまで伸びても、凸集合$S$インテリア。

定理 2.3 S = { x ∈ R n ∣ A x = b , x ≥ 0 } S=\{x\in \R^n|Ax=b,x\ge0\} と仮定します。$S=\{\times \in R^n|Ax=b、バツ\ge 0\}$，其中 $行A$がフルランクである場合、$バツ\in S$はSSです$S$の頂点の必要十分条件は$x\; は$$ x = \left( \begin{aligned} &B^{-1}b \cr &0 \end{aligned} \right)$ として表現できます。ここで、A = ( B , N ) A=(B,N$あ=(B、N)$、$B$は可逆であり、$B^{-1b}\_\ge 0$

定理2.4设$S=\{\times \in R^n|Ax=b、バツ\ge 0\}$空ではない、$列A$はフルランク、次に$S$には少なくとも 1 つの頂点があります。

2.2 線形計画法と原始単体法

線形計画法 (LP) の標準形式を考えてみましょう:
$$\left(LP\right)\_分\{c^{\text{T}}x|Ax=b、バツ\ge 0\}$$
此处$あ\in R^{m\times n}$、$A$行满ち，设$S=\{\times \in R^n|Ax=b、バツ\ge 0\}$、$S$は (LP) の実現可能領域です。

連立一次方程式を解く場合、フルランク行列には一意の解が存在することがよくあります。

定理 2.7 (線形計画法の基本定理) 線形計画可能領域を$S$は空ではありません、$S$の頂点は x 1 , ..., xk x_1,...,x_kです${バツ}_{}、...、{バツ}_{}$、極方向は$d_{}、...、d_{}$とすると、(LP) が有限最適解を持つための必要十分条件は$c^{Td}{\_}_{}\ge 0、i=1、...、l$。(LP) に有限最適解がある場合、(LP) は頂点${バツ}_{}$最適な状態に到達する。

定義 2.5線形計画法 (LP) の実行可能領域$S$ ，设$あ=(B、N)$、ここで$B$が可逆の場合、 BBと呼ばれます$B$ 为 $A$の 1 基、$バツ=\left(\begin{array}{rl}& {バツ}_{}\\ & {バツ}_{}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rl}& B^{-1b}\_\\ & \end{array}\right)$为 $あ\times =b$ ,x B x_Bの基本解${バツ}_{}$は基本変数と呼ばれます、${バツ}_{}$は非基本変数です。B − 1 b ≥ 0の場合$B^{-1b}\_\ge 0$の場合はBBと呼ばれます$B$は元の実行可能基底、$バツ=\left(\begin{array}{rl}& B^{-1b}\_\\ & \end{array}\right)$は基本的な実行可能解と呼ばれます。

既知の行列$A$は$メートル\times n$の行列$A\; は$完全な行ランクを持ち (つまり、方程式のすべての行に意味があります)、$メートル<n$ ，则 $A$の基底ベクトルはmmです$メートル$。A を列ごとに並べ替えてA = ( B , N ) A=(B,N)と表します。$あ=(B、N)$、ここで$B$ ×$m$基底ベクトル表現、$N$は他のn − m nmで与えられます。$n-それはm\; 個$の非基本ベクトルで構成されます。同様に、$x\; は$、基本変数と非基本変数の組み合わせとして表すこともできます。$バツ=\left(\begin{array}{rl}& {バツ}_{}\\ & {バツ}_{}\end{array}\right)$、目的関数は$c_B^{}{バツ}_{}+c_N^{}{バツ}_{}$。方程式$あ\times =b$は、 B x B + N x N = b Bx_B+Nx_N=bとして表すことができます。$B{\times }_{}+N{\times }_{}=b$。

非基本変数${バツ}_{}$すべての値が0のときに得られる解を基本解と呼び、基本解の数は最大で$C_n^{}$，若$バツ>0\; の場合$、これは基本実行可能解と呼ばれます。

任意の基本的な実行可能解に対する仮定 2.1 (非縮退仮定) $バツ=\left(\begin{array}{rl}& B^{-1b}\_\\ & \end{array}\right)$、両方とも$B^{-1b}\_>0$

特性 2.1 線形計画法の実行可能領域 S の頂点は基本実行可能解と 1 対 1 に対応しており、線形計画法に有限最適解がある場合、最適解である基本実行可能解が存在するはずです。

上記の定理と特性は、実行可能領域の頂点で線形計画法の最適解を見つけるだけでよいことを示しています。

シンプレックス法

単体: n 次元空間に n+1 個の頂点を持つ多面体

アルゴリズム 2.1 オリジナルシンプレックスアルゴリズム

ステップ 0: 初期の基本実現可能基礎$B$および対応する基本実行可能解$バツ=(\begin{array}{rl}& B^{-1b}\_\\ & \end{array}）$。

ステップ 1: $r_{}=c_N^{}-c_B^{}{B}^{-1N}\_\ge 0$、停止、現在基本的に実行可能な解決策$x$が最適解です。そうでない場合は、ステップ 2 に進みます。

ステップ 2: $j$满十分$c_{}-c_B^{}{B}^{-1a}{\_}_{}<0$，若${\overline{ある}}_{}=B^{-1a}{\_}_{}\le 0$で停止すると、元の問題は無制限になります。それ以外の場合は、ステップ 3 に進みます。

ステップ 3:次の式から$\lambda$，令$バツ:=バツ+\lambda d{\_}_{}$，その中$d_{}=\left(\begin{array}{rl}& -B^{-1a}{\_}_{}\\ & e_{}\end{array}\right)$，转步1
$$私=分\left\{\frac{{\overline{b}}_{}}{{\overline{ある}}_{}}|{\overline{ある}}_{}>0\right\}=\frac{{\overline{b}}_{}}{{\overline{ある}}_r}\ge 0$$

内部アイデア: まず、一連の基礎を決定し、次にこの一連の基礎を通じて実行可能な解決策の基礎を見つけることができます。これはステップ 0-1 の作業です。基本的な実行可能解を見つけた後は、それが最適解であるかどうかを判断する必要があります。これがステップ 2 の作業最適性テストです。テストの結果、探しているソリューションが最適なソリューションであることがわかったら、それは本当に幸運です。そうでない場合は問題ありません。基本変数を変更する 3 番目のステップに入ります。このようにして、基本的な実行可能なソリューションの新しいセットを見つけることができ、その後、最適なソリューションが見つかるまで最適性テストが実行されます。

シンプレックス法は、任意の n 次元空間内のシンプレックス上で 1 つの頂点からより適切な別の頂点に移動することです。より良い頂点が見つからなくなるまでは、最適解に到達したことを意味します。

定理 2.8非縮退の仮定の下では、元のシンプレックス アルゴリズムは有限ステップで終了するか、(LP) の最適解を見つけるか、(LP) が無制限であると判断します。

上記のアルゴリズムは、 b ≥ 0 b\ge 0 を仮定して表の形式で表現できます。$b\ge 0$、最初の実行可能基底を$B$，$あ=(B、N)$の場合、次のテーブルに対してシンプレックス法の 1 回の反復プロセスを実行できます。

「rhs」は「right-hand side」（右辺定数）の略です。

例 2.1シンプレックス アルゴリズムを使用して次の線形計画法を解きます
$$\begin{array}{rl}& 分-7x{\_}_{}-2倍{\_}_{}\\ & s。と。-{バツ}_{}+2倍{\_}_{}+{バツ}_{}=4、\\ & 5倍{\_}_{}+{バツ}_{}+{バツ}_{}=20、\\ & 2倍{\_}_{}+2倍{\_}_{}-{バツ}_{}=7、\\ & バツ\ge \end{array}$$
初期のシンプレックス テーブルは次のとおりです。

反復 1。初期基底を選択します$B=({\_}_{}、{ある}_{}、{ある}_{})$，以${バツ}_{}=({\times }_{}、{バツ}_{}、{バツ}_{}{)}^T$を基本変数とする単体テーブル${バツ}_{}=({\times }_{}、{バツ}_{}、{バツ}_{}{)}^T=(3\frac{}{2}、7\frac{}{2}、2\frac{}{2}）、{\times }_{}=({\times }_{}、{バツ}_{}{)}^T=(0,0{)}^T$

2 回目の反復、なぜなら$-\frac{}{2}<0$、${バツ}_{}$基本変数については、$私=\frac{2\frac{}{2}}{2\frac{}{2}}=1$なので${バツ}_{}$はオフベース変数です。新しいベース変数は${バツ}_{}=({\times }_{}、{バツ}_{}、{バツ}_{}）$。新しいシンプレックス テーブルは表 2.3 です。

3 回目の反復、${バツ}_{}$基本変数の場合、$分\left\{\frac{}{11/5}、\frac{}{1/5}\right\}$ . つまり、${バツ}_{}$r N = ( 3 11 , 6 11 ) ≥ 0 r_N=(\frac{3}{11},\frac{6}{11})\ge 0 であるため、は基地外変数、新しいシンプレックス テーブル 2.4 です。$r_{}=(\frac{}{11}、\frac{}{11})\ge 0$、現在の基本的な実行可能な解$バツ=(\frac{}{11}、\frac{}{11}、0、0、\frac{}{11}{)}^T$は線形計画法の最適解であり、最適値は$-30\frac{}{11}$。

上記のシンプレックス アルゴリズムでは、問題に初期の基本的な実行可能解があることが必要です。一般的な状況下で問題の初期の実行可能な解を見つける方法について説明します。線形計画法の標準形式を考えてみましょう:
$$\left(LP\right)\_分\{c^{\text{T}}x|Ax=b、バツ\ge 0\}$$
ここで$b\ge 0$、人工変数$y\in R_{+}^{}$では、次の線形計画法を考えてみましょう:
$$(LP{\_}^{）}\_\mathrm{私の}\{e^{\text{T}}y|Ax+y=b、バツ\ge 0、y\ge 次$$
の結論は明らかに真実です$$。$$

• 線形計画法 ( $LP{\_}^a$ ) 実現可能かつ実現可能な解$(x,y)=(0,b)$、その最適値は 0 以上です。
• 線形計画法$(LP)\; は、$ (LP a) (LP^a)の場合に限り、実行可能な解決策$を持ちます。$$\left(LP{\_}^a\right)$は 0 です。特に、$(LP{\_}^a$の最適解におけるyi (i = 1, ..., m) y_i(i=1,...,m$)$$y_{}(私は=1、...、m)$がすべて非基本変数である場合、最適解も$\left(LP\right)の$基本的な実行可能な解決策

上記の方法を使用して最初の基本的な実行可能解を見つけることをステージ I と呼び、最初の実行可能解を取得した後、元の問題に対する最適な解を見つけることをステージ II と呼びます。解決プロセス全体は2 段階法と呼ばれます。

例 2.1 (続き) : 段階 I を使用して最初の実行可能解を解くと、次の問題を構築できます:
$$\begin{array}{rl}& 分y_{}+y_{}+y_{}、\\ & s。と。-{バツ}_{}+2倍{\_}_{}+{バツ}_{}+y_{}=4、\\ & 5倍{\_}_{}+{バツ}_{}+{バツ}_{}+y_{}=20、\\ & 2倍{\_}_{}+2倍{\_}_{}-{バツ}_{}+y_{}=7、\\ & バツ\ge 0、y\ge \end{array}$$
x 3 x_3に注意してください${バツ}_{}$そして${バツ}_{}$はスラック変数とみなすことができるため、人工変数$y_{}$和$y_{}$は冗長です。y $y_{}$は人工変数です。したがって、段階 I の線形計画問題は次のように単純化できます:
$$\begin{array}{rl}& 分y_{}、\\ & s。と。-{バツ}_{}+2倍{\_}_{}+{バツ}_{}=4、\\ & 5倍{\_}_{}+{バツ}_{}+{バツ}_{}=20、\\ & 2倍{\_}_{}+2倍{\_}_{}-{バツ}_{}+y_{}=7、\\ & バツ\ge 0、y_{}\ge \end{array}$$
明らかに、最初の基本変数は${バツ}_{}=({\times }_{}、{バツ}_{}、y_{}{)}^T$、対応するシンプレックス テーブルを表 2.5 に示します。x 1 x_1を選択してください${バツ}_{}$たとえば、$私=分（\frac{}{5}、\frac{}{2})$，故$y_{}$基底からの新しい基底変数は${バツ}_{}=({\times }_{}、{バツ}_{}、y_{}{)}^T$、対応するシンプレックス テーブルを表 2.6 に示します。これにより、最初の基本的な実行可能解$バツ=(\frac{}{2}、0、\frac{}{2}、\frac{}{2}、0{)}^{T.\_}$ _ 単体テーブル 2.6 の対応する列を削除して、ステージ II の初期単体テーブルを取得します。

2.3 線形計画法の二重および二重シンプレックス法

次の線形計画問題を考えてみましょう:
$$\left(\text{P}\right)\mathrm{最大}\{c^{\text{T}}x|Ax\le b、バツ\in R_{+}^{}\}$$
此处$あ\in R^{m\times n}$、$行$はフルランクを持ち、§ の双対問題は次のように定義されます:
$$\left(\text{D}\right)分\{b^{\text{T}}u|A^{\text{トゥ}}\_\ge c、あなた\in R_{+}^{}ここ$$
で$R_{+}^{}$mmを意味します$m$次元の非負ベクトルのコレクション。検証が簡単な、線形計画法 (LP) の標準形式
$$\left(\text{LP}\right)分\{c^{\text{T}}x|Ax=b、バツ\in R_{+}^{}\}$$
の対数は次のとおりです:
$$\left(\text{LD}\right)\mathrm{最大}\{b^{\text{T}}u|A^{\text{トゥ}}\_\le c、あなた\in R_{+}^{}定理$$
2.9(弱い双対性)$x$は (LP) の実行可能な解です、$u\; が$(LD) の実行可能解である場合、$c^{\text{T}}\times \ge b^{\text{トゥ}}\_$

系 2.1 v(LP) = −∞ v(LP)=-∞の場合$v\left(LP\right)\_=-\infty$の場合、(LD) は実現不可能です。そうでない場合、$v\left(LD\right)=+\infty$の場合、(LP) は実行できません。つまり、元の線形計画問題 (LP) が制限されていない場合、双対問題 (LD) は実行不可能でなければなりません。

系 2.2 (相補的緩和条件) $x$ 和 $u\; は$それぞれ (LP) と (LD) の実行可能な解です。$s=c-{あ}^{\text{あなた}}、$则$x$ 和 $u\; が$それぞれ (LP) と (LD) の最適解となるための必要十分条件は$s_{}{バツ}_{}=0、私=1、...、ん$。

定理 2.10 (強い双対性) (LP) または (LD) が実行可能であり、最適解が制限されていると仮定すると、$v\left(LP\right)\_=v\left(LD\right)$。

つまり、原始問題 (LP) と双対問題 (LD) に少なくとも 1 つの実行可能な解があり、両方の問題に有限最適解がある場合、それらの最適な目的関数の値は等しいです。

系 2.3線形計画法 (LP) とその二重問題 (LD) では、次の 4 つの状況のうち 1 つだけが発生します。

1. (LP) と (LD) には両方とも有限最適解があり、$v\left(LP\right)\_=v\left(LD\right)$ ;$\_$
2. $v\left(LP\right)\_=-\infty$ ,(LD) は実現不可能です。
3. $v\left(LD\right)=+\infty$ ,(LP) は実現不可能です。
4. (LP) も (LD) も実行可能ではありません。

系 2.4​​ (ファルカスの補題) $あ\in R^{m\times n}、c\in R^n$の場合、次のシステムのうち 1 つだけが解決策を持ちます。

1. $あ\times \le 0、c^T\times >0$
2. ${あ}^{トゥ}\_=c、あなた\ge 0$

プロパティ 2.2 A = ( B , N ) A=(B,N)とします。$あ=(B、N)$、$B$は (LP) の双対実現可能基底です。つまり、$r_{}=c_N^{}-c_B^{}{B}^{-1N}\_\ge 0$、$\mathcal{B}$ 和 $Nは$それぞれ$B$と$N$の列インデックス セット${\overline{ある}}_{}=B^{-1a}{\_}_{}、j\in ん、\overline{b}=B^{-1}b$、${\overline{b}}_{}<0$

• waa ${\overline{ある}}_{sj}\ge 0、\forall j\_\in N$の場合、(LP) は実行不可能です
• j ∈ N j\in \mathcal{N}が存在する場合$j\in N$使${\overline{ある}}_{sj}<0$の場合はBBです隣接関係の二重実現可能根拠$B$$\overline{B}$、その列インデックスセット$\overline{B}=B\cup \left\{t\right\}\cup \left\{s\right\}$、ここ

$$t=arg\_\underset{j\in N}{}\{-\frac{r_{}}{{\overline{ある}}_{sj}}|{\overline{ある}}_{sj}<0\}\text{\hspace{1em}( 2.14 )}$$

デュアルシンプレックスアルゴリズム

• ステップ 0 初期の二重実現可能基底$B$，$あ=(B、ん）$
• ステップ 1 $\overline{b}=B^{-1b}\_\ge 0$，则${バツ}^T=({\times }_B^{}、0)=({\overline{b}}^{て}、0)\ge 0$は元の問題に対する最適な解決策です。それ以外の場合はステップ 2 に進みます。
• ステップ2 $s\; は$b ‾ s < 0 \overline{b}_s<0を満たす${\overline{b}}_{}<0$，若${\overline{ある}}_{sj}\ge 0、\forall j\_\in N$の場合、元の問題は実行不可能です。そうでない場合は、$t$，令$B:=B\cup \left\{t\right\}\cup \left\{s\right\}$、ステップ 1 に進みます

例 2.1 (続き) 線形計画法は次のように記述できます
$$\begin{array}{rl}& 分-7x{\_}_{}-2倍{\_}_{}\\ & s。と。-{バツ}_{}+2倍{\_}_{}+{バツ}_{}=4、\\ & 5倍{\_}_{}+{バツ}_{}+{バツ}_{}=20、\\ & 2倍{\_}_{}+2倍{\_}_{}-{バツ}_{}=7、\\ & バツ\ge \end{array}$$
二重シンプレックス法を使用して解きます。

1 回目の反復。最初の実行可能基底を$B=({\_}_{}、{ある}_{}、{ある}_{})$対応する単体テーブルは表 2.7 です。$r_{}=r_{}=c_N^{}-c_B^{}{B}^{-1N}\_=(3、2)\ge 0$，故 $B=({\_}_{}、{ある}_{}、{ある}_{}）$は二重の実現可能な根拠です。そして${バツ}_{}=\overline{b}=(-36、20、33{)}^T$、だから$B\; は$原始的な実現可能基底ではありません。

2 回目の反復では、${\overline{b}}_{}=-36<0$，計算$私=分（\frac{}{11}、\frac{}{2})=\frac{}{11}$、つまり${バツ}_{}$ベースを入力してください、${バツ}_{}$基底を離れると、新しい双対実現可能基底は$B=({\_}_{}、{ある}_{}、{ある}_{})$の場合、対応するシンプレックス テーブルは次のとおりです。このとき、実行可能な双対解は$バツ=(\frac{}{11}、\frac{}{11}、0、0、\frac{}{11})$は元の実行可能解でもあり、したがって元の最適解でもあります。

参考文献

1. 整数計画法 Sun Xiaoling、Li Rui 北京、Science Press 2010
2. 凸集
3. オペレーションズ リサーチ S01E02—シンプレックス法
4. 線形計画法のシンプレックス アルゴリズムを簡単に理解する