【最適化手法検討ノート】第1章：線形計画法

1. 基本的な考え方

1.1 凸集合と極

若集合$C$满足：$\forall x,そして\in C、私\in [0,1]$, 都有$\lambda x+(1-\lambda )y\in C$, 则称集合$C$为凸集。直观来讲, 如果集合$C$ の任意の 2 点を結ぶ線もセット内にあります$C$中, 那么集合$C$ は凸集合であり、図 1.1 に凸集合と非凸集合の例を示します。

図 1.1 凸集合（左）と非凸集合（右）

设$C$ は凸集合、 $バツ\in C$, 若$\forall y,と\in C、私\in (0,1)、そして\ne z$、$\lambda y+(1-\lambda )z\ne \mathbf{x}$, 则称$x$ある C C A極または x \boldsymbol{x} の頂点。直感的に言えば、 $C$$x$ある$C$的极点, 那么$\mathbf{x}$不能由$C$ 内の任意の 2 つの異なる点の線形結合が取得されます。

1.2 実行可能解、基本解、基本的実行可能解

実現可能な解: 制約を満たす解は実現可能な解;
と呼ばれます 基本的な解: Let基本変数は $0$、得られた解は基本解と呼ばれます;
基本的な実行可能解: 実行可能な基本的な解は基本的な実行可能解と呼ばれます。

2. 線形計画法の標準形式

線形計画法の問題には標準形式があります。線形計画法の標準形式は次のように記述できます。$$\begin{array}{cc}分& と=c_1{バツ}_1+c_2{バツ}_2+\cdots +c_n{バツ}_n\\ セント& {ある}_{11}{バツ}_1+{ある}_{12}{バツ}_2+\cdots +{ある}_{1n}{バツ}_n=b_1\\ & {ある}_{21}{バツ}_1+{ある}_{22}{バツ}_2+\cdots +{ある}_{2n}{バツ}_n=b_2\\ & ⋮\\ & {ある}_{m1}{バツ}_1+{ある}_{m2}{バツ}_2+\cdots +{ある}_{ん}{バツ}_n=b_m\\ & {バツ}_j\ge 0、j=1、2、\cdots 、n\end{array}$$非標準形式の線形計画問題を標準形式に書き直す手順は次のとおりです。

1. 目的が最大化である場合、目的関数の負の値をとって最小化します。つまり、$\mathrm{最大}f\left(x\right)\iff 分-f\left(x\right)$；
2. 制約の右側の項が負の数である場合、制約の左側と右側の両方が同時に負になり、右側の項は非負になります。
3. If 決定変数${バツ}_j$非負の要件がない場合は、${バツ}_j={バツ}_{j1}-{バツ}_{j2}$, 其中${バツ}_{j1}、{バツ}_{j2}\ge 0$；
4. If 決定変数${バツ}_j$ は非正の制約です。つまり ${バツ}_j\le 0$, 则令${バツ}_j^{\text{'}}=-x_j\ge 0$；
5. 如果存在不等式约束${ある}_{i1}{バツ}_1+{ある}_{i2}{バツ}_2+\cdots +{ある}_{中}{バツ}_n\ge b_i$, 则添加变量${そして}_i\ge 0$, 约束就改写为${ある}_{i1}{バツ}_1+{ある}_{i2}{バツ}_2+\cdots +{ある}_{中}{バツ}_n-{そして}_i=b_i$；
6. 如果存在不等式约束${ある}_{i1}{バツ}_1+{ある}_{i2}{バツ}_2+\cdots +{ある}_{中}{バツ}_n\le b_i$, 则添加变量${そして}_i\ge 0$, 约束就改写为${ある}_{i1}{バツ}_1+{ある}_{i2}{バツ}_2+\cdots +{ある}_{中}{バツ}_n+{そして}_i=b_i$。

標準的な線形計画問題は行列形式で記述できます$$\begin{array}{cc}分& と=c^{T}x\\ セント& Ax=b\\ & バツ\ge 0\end{array}$$

3. シンプレックス方式

シンプレックス法を使用して線形計画問題を解く一般的な手順は次のとおりです。

1. 問題を標準形式に変換する
2. ベースのセットを選択し、シンプレックス テーブルをリストします。
3. すべてのテスト数値が負でない場合、終了
4. 最小のテスト番号を持つ列に対応する変数をベース変数として選択します。
5. 选择$b_i$係数比が正で最小である行に対応する変数は、基準外変数として使用されます。
6. 基本変数に対応する行列を単位行列に変換し、ステップ 3 に戻ります。

[例 1] 次の線形計画問題を解きます
$$\begin{array}{cc}\mathrm{最大}& 4x_1+5x_2+3x_3\\ セント& 8x_1+2x_2+5x_3\le 400\\ & 4x_1+6x_2+5x_3\le 320\\ & 7x_1+3x_2+4x_3\le 500\\ & {バツ}_i\ge 0、私=1、2、3\end{array}$$
[解法] まず問題を標準形式に変換します
$$\begin{array}{cc}分& -4x_1-5x_2-3x_3\\ セント& 8x_1+2x_2+5x_3+{バツ}_4=400\\ & 4x_1+6x_2+5x_3+{バツ}_5=320\\ & 7x_1+3x_2+4x_3+{バツ}_6=500\\ & {バツ}_i\ge 0、私=1、2、\cdots 、6\end{array}$$
第$1$ 反復、シンプレックス テーブルは

	${バツ}_1$	${バツ}_2$	${バツ}_3$	${バツ}_4$	${バツ}_5$	${バツ}_6$	$b$
検査数	$-4$	$-5$	$-3$	$0$	$0$	$0$	$0$
${バツ}_5$	$8$	$2$	$5$	$1$	$0$	$0$	$400$
${バツ}_6$	$4$	$6$	$5$	$0$	$1$	$0$	$320$
${バツ}_7$	$7$	$3$	$4$	$0$	$0$	$1$	$500$

检验数中, $-5$最小, 所以${バツ}_2$ は基本変数です。以降$分\left\{400÷2、320÷6、500÷3\right\}=320÷6$, 所以${バツ}_6$は基準外変数です。

第$2$ 反復、シンプレックス テーブルは

	${バツ}_1$	${バツ}_2$	${バツ}_3$	${バツ}_4$	${バツ}_5$	${バツ}_6$	$b$
検査数	$-\frac{2}{3}$	$0$	$\frac{7}{6}$	$0$	$\frac{5}{6}$	$0$	$\frac{800}{3}$
${バツ}_5$	$\frac{20}{3}$	$0$	$\frac{10}{3}$	$1$	$-\frac{1}{3}$	$0$	$\frac{880}{3}$
${バツ}_2$	$\frac{2}{3}$	$1$	$\frac{5}{6}$	$0$	$\frac{1}{6}$	$0$	$\frac{160}{3}$
${バツ}_7$	$5$	$0$	$\frac{3}{2}$	$0$	$-2$	$1$	$340$

只有${バツ}_1$ のテスト番号は負であるため、 ${バツ}_1$ は基本変数です。以降$分\left\{\frac{880}{3}÷\frac{20}{3}、\frac{160}{3}÷\frac{2}{3}、340÷5\right\}=\frac{880}{3}÷\frac{20}{3}$, 所以${バツ}_5$は基準外変数です。

第$3$ 反復、シンプレックス テーブルは

	${バツ}_1$	${バツ}_2$	${バツ}_3$	${バツ}_4$	${バツ}_5$	${バツ}_6$	$b$
検査数	$0$	$0$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{4}{5}$	$0$	$296$
${バツ}_1$	$1$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{20}$	$-\frac{1}{20}$	$0$	$44$
${バツ}_2$	$0$	$1$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$0$	$24$
${バツ}_7$	$0$	$0$	$-1$	$-\frac{3}{4}$	$-\frac{7}{4}$	$1$	$120$

テストの数値はすべて非負の数値です。反復の終了時点で、標準問題の最適解は$バツ=(44,24、0、0、0、0、120{)}^{\mathrm{T}}$, 最优值为$-296$。
したがって、元の問題の最適解は $バツ=(44,24、0{)}^{\mathrm{T}}$, 最优值为$296$。

4. 二段法とビッグM法

場合によっては、最初の基本的な実行可能解を直接取得できない場合があるため、最初に最初の基本的な実行可能解を見つけることを試みる必要があります。

4.1 二段階法

線形計画問題の標準形式については、補助問題を見つけてください。$$\begin{array}{cc}分& ||y|{|}_1\\ セント& Ax+そして=b\\ & バツ\ge 0\\ & そして\ge 0\end{array}$$ の最適解と最適値。補助問題の最適値が $0$ の場合、元の問題には最適解がありません。それ以外の場合、得られる最適解は、元の問題に対する基本的な実行可能な解になります。

[例 2] 次の線形計画問題を解きます
$$\begin{array}{cc}分& 2x_1+{バツ}_2\\ セント& {バツ}_1+{バツ}_2+{バツ}_3=8\\ & {バツ}_2-{バツ}_3=-3\\ & {バツ}_i\ge 0、私=1、2、3\end{array}$$
[解法] まず問題を標準形式に変換します
$$\begin{array}{cc}分& 2x_1+{バツ}_2\\ セント& {バツ}_1+{バツ}_2+{バツ}_3=8\\ & -x_2+{バツ}_3=3\\ & {バツ}_i\ge 0、私=1、2、3\end{array}$$
一段階问题
$$\begin{array}{cc}分& {そして}_1+{そして}_2\\ セント& {バツ}_1+{バツ}_2+{バツ}_3+{そして}_1=8\\ & -x_2+{バツ}_3+{そして}_2=3\\ & {バツ}_i\ge 0、私=1、2、3\\ & {そして}_1、{そして}_2\ge 0\end{array}$$初期のシンプレックス テーブルは次のとおりです。

	${バツ}_1$	${バツ}_2$	${バツ}_3$	${そして}_1$	${そして}_2$	$b$
$c$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
${そして}_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$	$8$
${そして}_2$	$0$	$-1$	$1$	$0$	$1$	$3$

第$1$ 反復し、基本的な行変換を通じて最初の行をテスト番号の行に変換し、

	${バツ}_1$	${バツ}_2$	${バツ}_3$	${そして}_1$	${そして}_2$	$b$
検査数	$-1$	$0$	$-2$	$0$	$0$	$-11$
${そして}_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$	$8$
${そして}_2$	$0$	$-1$	$1$	$0$	$1$	$3$

检验数中, $-2$最小, 所以${バツ}_3$ は基本変数です。以降$分\left\{8÷1、3÷1\right\}=3÷1$, 所以${そして}_2$は基準外変数です。

第$2$ 反復、シンプレックス テーブルは

	${バツ}_1$	${バツ}_2$	${バツ}_3$	${そして}_1$	${そして}_2$	$b$
検査数	$-1$	$-2$	$0$	$0$	$2$	$-5$
${そして}_1$	$1$	$2$	$0$	$1$	$-1$	$5$
${バツ}_3$	$0$	$-1$	$1$	$0$	$1$	$3$

检验数中, $-2$最小, 所以${バツ}_2$ は基本変数です。 ${そして}_1$ の対応する係数は正であるため、 ${そして}_1$は基本変数です。

第$3$ 反復、シンプレックス テーブルは

	${バツ}_1$	${バツ}_2$	${バツ}_3$	${そして}_1$	${そして}_2$	$b$
検査数	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
${バツ}_2$	$\frac{1}{2}$	$1$	$0$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{5}{2}$
${バツ}_3$	$\frac{1}{2}$	$0$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{11}{2}$

检验数全为非负数, 迭代结束, 得到辅助问题的最优值为$0$, 所以$\mathbf{x}={\left(0,\frac{5}{2},\frac{11}{2}\right)}^{\mathrm{T}}$是标准形式问题的一个基本可行解。

二阶段问题
令$y_1=y_2=0$, 得到

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$b$
$c$	$2$	$1$	$0$	$0$
$x_2$	$\frac{1}{2}$	$1$	$0$	$\frac{5}{2}$
$x_3$	$\frac{1}{2}$	$0$	$1$	$\frac{11}{2}$

通过初等行变换把第一行变为检验数行, 得到

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$b$
检验数	$\frac{3}{2}$	$0$	$0$	$-\frac{5}{2}$
$x_2$	$\frac{1}{2}$	$1$	$0$	$\frac{5}{2}$
$x_3$	$\frac{1}{2}$	$0$	$1$	$\frac{11}{2}$

检验数全为非负数, 迭代结束, 所以标准问题的最优解为$\mathbf{x}={\left(0,\frac{5}{2},\frac{11}{2}\right)}^{\mathrm{T}}$, 最优值为$\frac{5}{2}$, 此即为原问题的最优解与最优值。

4.2 大M法

对于标准形式的线性规划问题, 设$M$是充分大的正数, 求辅助问题
$$\begin{array}{cc}\min & {\mathbf{c}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}+M||\mathbf{y}|{|}_1\\ s.t.& \mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{b}\\ & \mathbf{x}\ge 0\\ & \mathbf{y}\ge 0\end{array}$$的最优解${\left({\mathbf{x}}^{\ast \mathrm{T}},{\mathbf{y}}^{\ast \mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}$。若${\mathbf{y}}^{\ast }=0$, 则${\mathbf{x}}^{\ast }$为原问题的最优解, 否则, 原问题无最优解。

【例3】求解以下线性规划问题
$$\begin{array}{cc}\min & 2x_1+x_2\\ s.t.& x_1+x_2+x_3=8\\ & x_2-x_3=-3\\ & x_i\ge 0,i=1,2,3\end{array}$$
【解】构造辅助问题
$$\begin{array}{cc}\min & 2x_1+x_2+M{y}_1+M{y}_2\\ s.t.& x_1+x_2+x_3+y_1=8\\ & -x_2+x_3+y_2=3\\ & x_i\ge 0,i=1,2,3\end{array}$$
初始的单纯形表为

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$y_1$	$y_2$	$b$
$c$	$2$	$1$	$0$	$M$	$M$	$0$
$y_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$	$8$
$y_2$	$0$	$-1$	$1$	$0$	$1$	$3$

第$1$次迭代, 通过初等行变换把第一行变为检验数行, 得到

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$y_1$	$y_2$	$b$
检验数	$2-M$	$1$	$-2M$	$0$	$0$	$-11M$
$y_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$	$8$
$y_2$	$0$	$-1$	$1$	$0$	$1$	$3$

检验数中, $-2M$最小, 所以$x_3$为进基变量。由于 min ⁡ { 8 ÷ 1 , 3 ÷ 1 } = 3 ÷ 1 \min \left\lbrace8\div1,3\div1\right \rbrace=3\div1 min{ 8÷1,3÷1}=3÷1, 所以$y_2$为离基变量。

第$2$次迭代, 单纯形表为

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$y_1$	$y_2$	$b$
检验数	$2-M$	$1-2M$	$0$	$0$	$2M$	$-5M$
$y_1$	$1$	$2$	$0$	$1$	$-1$	$5$
$x_3$	$0$	$-1$	$1$	$0$	$1$	$3$

检验数中, $1-2M$最小, 所以$x_2$为进基变量。 只有$y_1$对应的系数是正的, 所以$y_1$为进基变量。

第$3$次迭代, 单纯形表为

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$y_1$	$y_2$	$b$
检验数	$\frac{3}{2}$	$0$	$0$	$M-\frac{1}{2}$	$M+\frac{1}{2}$	$-\frac{5}{2}$
$x_2$	$\frac{1}{2}$	$1$	$0$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{5}{2}$
$x_3$	$\frac{1}{2}$	$0$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{11}{2}$

检验数全为非负数, 迭代结束, 得到辅助问题的最优解为${\left(0,\frac{5}{2},\frac{11}{2},0,0\right)}^{\mathrm{T}}$, 所以原问题的最优解为$\mathbf{x}={\left(0,\frac{5}{2},\frac{11}{2}\right)}^{\mathrm{T}}$, 最优值为$\frac{5}{2}$。

5. 线性规划的对偶问题

5.1 对偶问题

任何一个线性规划问题都有与之对应的对偶问题, 且线性规划问题的对偶问题的对偶问题是原问题。

标准形式的线性规划问题
$$\begin{array}{cc}\min & {\mathbf{c}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\\ s.t.& \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\\ & \mathbf{x}\ge 0\end{array}$$的对偶问题为
$$\begin{array}{cc}\max & {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\\ s.t.& {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\le \mathbf{c}\end{array}$$
线性规划问题
$$\begin{array}{cc}\min & {\mathbf{c}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\\ s.t.& \mathbf{A}\mathbf{x}\ge \mathbf{b}\\ & \mathbf{x}\ge 0\end{array}$$的对偶问题为
$$\begin{array}{cc}\max & {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\\ s.t.& {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\le \mathbf{c}\\ & \mathbf{x}\ge 0\end{array}$$
一般地, 可以按照以下步骤写出任何一个线性规划问题的对偶问题：

1. 把约束中的$\le$通过两边同乘$-1$的方式变为$\ge$
2. 优化目标$\min \leftrightarrow \max$
3. 系数向量与右端向量$\mathbf{b}\leftrightarrow \mathbf{c}$
4. 系数矩阵$\mathbf{A}\leftrightarrow {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$
5. 若决策变量有非负约束, 则对偶问题中对应的约束为不等式$\le$约束
6. 若决策变量无非负约束, 则对偶问题中对应的约束为等式约束
7. 若原问题为等式约束, 则对偶问题中对应的决策变量无非负约束

【例4】写出以下线性规划问题的对偶问题
$$\begin{array}{cc}\min & -x_1+4x_2\\ s.t.& x_1+3x_2\le 2\\ & -x_1+2x_2\ge 4\\ & x_2\ge 0\end{array}$$
【解】先把原问题等价变换为
$$\begin{array}{cc}\min & -x_1+4x_2\\ s.t.& -x_1-3x_2\ge -2\\ & -x_1+2x_2\ge 4\\ & x_2\ge 0\end{array}$$于是, 对偶问题为
$$\begin{array}{cc}\max & -2x_1+4x_2\\ s.t.& -x_1-x_2=-1\\ & -3x_1+2x_2\le 4\\ & x_1,x_2\ge 0\end{array}$$

5.2 对偶定理

弱对偶定理：设互为对偶的两个线性规划的目标分别是$\min f(\mathbf{x})$和$\max g(\mathbf{y})$, 且$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$分别是它们的可行解, 则有$f(\mathbf{x})\ge g(\mathbf{y})$。
强对偶定理：互为对偶问题的两个线性规划问题, 若其中一个问题存在最优值, 则另一个问题也存在最优值, 且两个问题的最优值相等。

5.3 对偶单纯形方法

对偶单纯形方法与单纯形方法计算步骤类似, 不同之处在于：

1. 结束条件变为右端向量全部非负；
2. 右端向量最小的基变量为离基变量；
3. 检验数与对应系数的相反数的商为正数且最小的变量为进基变量。

【例5】用对偶单纯形方法求解以下线性规划问题
$$\begin{array}{cc}\min & 20x_1+16x_2+25x_3\\ s.t.& 20x_1+60x_2+30x_3\ge 1\\ & 200x_1+100x_2+175x_3\ge 2\\ & 250x_1+250x_2+200x_3\ge 3\\ & x_i\ge 0,i=1,2,3\end{array}$$
【解】首先把问题转换为标准形式
$$\begin{array}{cc}\min & 20x_1+16x_2+25x_3\\ s.t.& 20x_1+60x_2+30x_3-x_4=1\\ & 200x_1+100x_2+175x_3-x_5=2\\ & 250x_1+250x_2+200x_3-x_6=3\\ & x_i\ge 0,i=1,2,\cdots ,6\end{array}$$
第$1$次迭代, 单纯形表为

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$b$
检验数	$20$	$16$	$25$	$0$	$0$	$0$	$0$
$x_4$	$-20$	$-60$	$-30$	$1$	$0$	$0$	$-1$
$x_5$	$-200$	$-100$	$-175$	$0$	$1$	$0$	$-2$
$x_6$	$-250$	$-250$	$-200$	$0$	$0$	$1$	$-3$

右端向量中, $-3$最小, 所以$x_6$为离基变量。由于 min ⁡ { 20 ÷ 250 , 16 ÷ 250 , 25 ÷ 200 } = 16 ÷ 250 \min \left\lbrace20\div250,16\div250,25\div200 \right \rbrace=16\div250 min{ 20÷250,16÷250,25÷200}=16÷250, 所以$x_2$为进基变量。

第$2$次迭代, 单纯形表为

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$b$
检验数	$4$	$0$	$\frac{61}{5}$	$0$	$0$	$\frac{8}{125}$	$-\frac{24}{125}$
$x_4$	$40$	$0$	$18$	$1$	$0$	$-\frac{6}{25}$	$-\frac{7}{25}$
$x_5$	$-100$	$0$	$-95$	$0$	$1$	$-\frac{2}{5}$	$-\frac{4}{5}$
$x_2$	$1$	$1$	$\frac{4}{5}$	$0$	$0$	$-\frac{1}{250}$	$\frac{3}{250}$

右端向量中, $-\frac{4}{5}$最小, 所以$x_5$为离基变量。由于$\min \left\{4÷100,\frac{61}{5}÷95,\frac{8}{125}÷\frac{2}{5}\right\}=4÷100$, 所以$x_1$为进基变量。

第$3$次迭代, 单纯形表为

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$b$
检验数	$0$	$0$	$\frac{42}{5}$	$0$	$\frac{1}{25}$	$\frac{6}{125}$	$-\frac{28}{125}$
$x_4$	$0$	$0$	$-20$	$1$	$\frac{2}{5}$	$-\frac{2}{5}$	$-\frac{3}{5}$
$x_1$	$1$	$0$	$\frac{19}{20}$	$0$	$-\frac{1}{100}$	$\frac{1}{250}$	$\frac{1}{125}$
${バツ}_2$	$0$	$1$	$-\frac{3}{20}$	$0$	$\frac{1}{100}$	$-\frac{1}{125}$	$\frac{1}{250}$

右端のベクトルでは、$-\frac{3}{5}$最小, 所以${バツ}_4$ は基準外変数です。以降$分\left\{\frac{42}{5}÷20、\frac{6}{125}÷\frac{2}{5}\right\}=\frac{6}{125}÷\frac{2}{5}$, 所以${バツ}_6$は基本変数です。

第$4$ 反復、シンプレックス テーブルは

	${バツ}_1$	${バツ}_2$	${バツ}_3$	${バツ}_4$	${バツ}_5$	${バツ}_6$	$b$
検査数	$0$	$0$	$6$	$\frac{3}{25}$	$\frac{11}{125}$	$0$	$-\frac{37}{125}$
${バツ}_6$	$0$	$0$	$50$	$-\frac{5}{2}$	$-1$	$1$	$\frac{3}{2}$
${バツ}_1$	$1$	$0$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{100}$	$-\frac{3}{500}$	$0$	$\frac{1}{500}$
${バツ}_2$	$0$	$1$	$\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{50}$	$\frac{1}{500}$	$0$	$\frac{2}{125}$

右側のベクトルはすべて非負の数であり、反復は終了します。標準問題の最適解は$バツ={\left(\frac{1}{500}、\frac{2}{125}、0、0、0、\frac{3}{2}\right)}^{\mathrm{T}}$, 最优值为$\frac{37}{125}$。
したがって、元の問題の最適解は $バツ={\left(\frac{1}{500}、\frac{2}{125}、0\right)}^T$, 最优值为$\frac{37}{125}$。