2番目の動的計画法：線形計画法dp間隔dp

1つの線形dp

（1）デジタルトライアングル

上から下への最大パスを見つけます。2つのケースがあるたびに、最大値が左上から渡され、最大値が右上から渡されます。

f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);

（2）最長の昇順部分列

for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
    
    
    f[i] = 1;
    for(int j = 1; j < i; j ++)
    {
    
    
        if(a[j] < a[i])
            f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    }
}

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;

//最长上升子序列进阶
int n;
int a[N];
int q[N];
int main()
{
    
    
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    int len = 0;
    q[0] = -2e9;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
    
    
        int l = 0, r = len;
        while(l < r)
        {
    
    
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if(q[mid] < a[i]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        len = max(len, r + 1);
        q[r + 1] = a[i];
    }
    cout << len << endl;
}

（3）最長共通部分列

f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + 1, f[i][j]);

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N = 2e3 + 10;

//给出两个字符串，把a转换成b需要至少多少操作，有三个操作可以选择，删除一个字母，增加一个字母，改变一个字母。
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
int main()
{
    
    
    cin >> n >> a + 1;
    cin >> m >> b + 1;
    for(int i = 0; i <= m; i ++) f[0][i] = i;//当用a的前0个字母和b的前i个字母匹配时，需要在a加上i个字母。
    for(int i = 0; i <= n; i ++)
        f[i][0] =
            i;  //当用a的前i个字母和b的前0个字母匹配时，需要在a减去i个字母。
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
    
    
            f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);//如果相等，不用操作。
            else f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);//如果不相等需要修改。
        }
    cout << f[n][m] << endl;
}

2、間隔dp

石をマージする

int  main()
{
    
    
    int n;
    int s[510];
    int f[510][510];
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> s[i];
    for(int i = 0; i <= n; i ++) s[i] += s[i - 1]; //求前缀和
    for(int len = 2; len <= n; len ++)//枚举长度
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++)
        {
    
    
            int l = i, r = i + len - 1;
            f[l][r] = 1e8;
            for(int k = l; k < r; k ++)
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
        }
    cout << f[1][n];
}