アルゴリズム設計と解析 4 番目の課題

プログラミング 2023-08-13 02:24:10 訪問数: null

8.8.1 基本的なトレーニングの質問

1 分岐限定法を使用して n 個の成分を持つすべての順列を生成するプログラムを作成します。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

void generatePermutations(vector<int>& permutation, vector<bool>& used, int depth) {
    if (depth == permutation.size()) {
        // 已经遍历到排列的末尾，输出排列
        for (int i = 0; i < permutation.size(); i++) {
            cout << permutation[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    } else {
        // 对于每个未使用的数字，递归生成下一个数字的排列
        for (int i = 1; i <= permutation.size(); i++) {
            if (!used[i-1]) {
                used[i-1] = true;
                permutation[depth] = i;
                generatePermutations(permutation, used, depth+1);
                used[i-1] = false;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    cout << "请输入排列的长度n: ";
    cin >> n;

    vector<int> permutation(n);
    vector<bool> used(n, false);

    generatePermutations(permutation, used, 0);

    return 0;
}

2 分岐結合法を使用して n 個の要素のすべてのサブセットを生成するプログラムを作成します。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

void generateSubsets(vector<int>& subset, vector<bool>& used, int depth) {
    if (depth == subset.size()) {
        // 已经遍历到子集的末尾，输出子集
        cout << "{ ";
        for (int i = 0; i < subset.size(); i++) {
            if (used[i]) {
                cout << subset[i] << " ";
            }
        }
        cout << "}" << endl;
    } else {
        // 对于每个元素，递归生成下一个元素的子集
        used[depth] = true;
        generateSubsets(subset, used, depth+1);
        used[depth] = false;
        generateSubsets(subset, used, depth+1);
    }
}

int main() {
    int n;
    cout << "请输入集合大小n: ";
    cin >> n;

    vector<int> subset(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        subset[i] = i+1;
    }

    vector<bool> used(n, false);

    generateSubsets(subset, used, 0);

    return 0;
}

3 巡回セールスマン問題（0からスタート）をキュー型分岐限定法と優先キュー型分岐限定法で解く場合の解空間木とライブノードキューの変化過程をそれぞれ与えよ

4 優先キュー分枝限定法を使用して、最大クリーク問題の解空間ツリーを図のように与えます。

5 巡回セールスマン問題を解くための分岐限定アルゴリズムをプログラミング言語で記述し（最適解を出力）、時間計算量を解析する

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

const int N = 5;

struct Node {
    int level; // 当前所在的层数
    int path[N]; // 从根节点到当前节点的路径
    bool visited[N]; // 标记城市是否已经访问过
    int bound; // 当前节点的下界
    int cost; // 当前路径的总代价
};

// 定义比较函数，用于优先队列中节点的排序
struct cmp {
    bool operator()(const Node& a, const Node& b) {
        return a.bound > b.bound;
    }
};

int get_cost(int graph[][N], int path[], int n) {
    // 计算路径的总代价
    int cost = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        cost += graph[path[i]][path[i+1]];
    }
    cost += graph[path[n-1]][path[0]];
    return cost;
}

void init_node(Node& node, int level) {
    // 初始化节点
    node.level = level;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        node.visited[i] = false;
    }
}

void print_path(int path[], int n) {
    // 输出路径
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << path[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}

void tsp_bnb(int graph[][N]) {
    // 初始化根节点
    Node root;
    init_node(root, 0);
    root.path[0] = 0; // 从城市0出发
    root.visited[0] = true;
    root.bound = get_cost(graph, root.path, 1); // 计算根节点的下界
    root.cost = 0;

    // 使用优先队列存储节点
    priority_queue<Node, vector<Node>, cmp> q;
    q.push(root);

    while (!q.empty()) {
        Node cur = q.top();
        q.pop();

        if (cur.bound >= INT_MAX) {
            // 当前节点的下界已经超过了当前的最优解，可以剪枝
            continue;
        }

        if (cur.level == N-1) {
            // 已经遍历了所有的城市，找到了一条完整的路径
            cur.path[cur.level] = 0; // 回到出发城市
            cur.cost = get_cost(graph, cur.path, N); // 计算路径的总代价
            if (cur.cost < root.cost) {
                // 更新最优解
                root = cur;
            }
            continue;
        }

        // 枚举下一步可以访问的城市
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if (cur.visited[i]) {
                // 当前城市已经访问过
                continue;
            }

            Node
        Node child;
        init_node(child, cur.level+1);
        for (int j = 0; j <= cur.level; j++) {
            child.path[j] = cur.path[j];
        }
        child.path[cur.level+1] = i; // 记录下一步访问的城市
        child.visited[i] = true; // 标记城市已经访问过
        child.cost = cur.cost + graph[cur.path[cur.level]][i]; // 更新路径的总代价

        // 计算节点的下界
        int min_cost = INT_MAX;
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            if (!child.visited[j] && graph[i][j] < min_cost) {
                min_cost = graph[i][j];
            }
        }
        child.bound = child.cost + min_cost * (N - child.level - 1);

        if (child.bound < root.cost) {
            // 当前节点的下界小于当前的最优解，加入队列继续搜索
            q.push(child);
        }
    }
}

// 输出最优解
cout << "最优路径为：" << endl;
print_path(root.path, N);
cout << "路径的总代价为：" << root.cost << endl;
}

int main() {
int graph[N][N] = {
   
   {0, 10, 15, 20, 25},
{10, 0, 35, 25, 30},
{15, 35, 0, 30, 20},
{20, 25, 30, 0, 18},
{25, 30, 20, 18, 0}};
tsp_bnb(graph);
return 0;
}

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时间复杂度分析：

- 对于每个节点，需要枚举剩余未访问的城市，因此每个节点的分支数为O(N)，总共需要遍历O(N!)个节点。
- 对于每个节点，需要计算它的下界，需要遍历剩余未访问的城市，因此计算下界的时间复杂度为O(N^2)。
- 优先队列的插入和删除操作的时间复杂度为O(logN)。
- 因此，总时间复杂度为O(N! * N^2 * logN)。

6 プログラミング言語を使用して、最大クリーク問題を解決するための分岐限定アルゴリズムを記述し (最適解を出力)、時間計算量を分析します。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <climits>

using namespace std;

const int N = 100;
int graph[N][N]; // 图的邻接矩阵表示
bool visited[N]; // 当前团中的节点
int max_clique[N]; // 最大团
int max_size; // 最大团大小

struct Node {
    int level; // 当前搜索的深度
    int size; // 当前团的大小
    int bound; // 当前节点的下界
};

bool operator<(const Node& n1, const Node& n2) {
    // 优先队列中按照下界从小到大排序
    return n1.bound > n2.bound;
}

void init_node(Node& node, int level, int size) {
    node.level = level;
    node.size = size;
    node.bound = 0;
}

void dfs(int cur, int size) {
    // 在剩余节点中搜索当前团的最大扩展
    for (int i = cur + 1; i < N; i++) {
        if (visited[i]) continue;
        bool flag = true;
        for (int j = 0; j < size; j++) {
            if (!graph[i][visited[j]]) {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag) {
            visited[i] = true;
            dfs(i, size+1);
            visited[i] = false;
        }
    }

    // 当前团是最大团，更新最大团和最大团大小
    if (size > max_size) {
        max_size = size;
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            max_clique[i] = visited[i];
        }
    }
}

void maxclique_bnb() {
    max_size = 0;
    memset(visited, false, sizeof(visited));
    memset(max_clique, false, sizeof(max_clique));

    // 初始化根节点
    Node root;
    init_node(root, 0, 0);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        root.bound += graph[i][i+1];
    }

    // 优先队列存储活结点
    priority_queue<Node> q;
    q.push(root);

    while (!q.empty()) {
        Node cur = q.top();
        q.pop();

        if (cur.bound <= max_size) {
            // 当前节点的下界小于等于当前最大团大小，不需要搜索下去
            continue;
        }

        if (cur.level == N) {
            // 已经遍历完了所有节点，更新最大团
            max_size = cur.size;
            for (int i = 0; i < N; i++) {
                max_clique[i] = visited[i];
            }
            continue;
        }

        // 枚举当前节点的子节点
        Node child;
        init_node(child, cur.level+1, cur.size);
        for (int i = N-1; i >= cur.level; i--) {
            // 从N-1到cur.level，按照节点编号从大到小排序
            // 优先
        // 搜索的是当前节点的子节点，不包括父节点和父节点之前已经遍历过的兄弟节点
        if (graph[i][i+1] && !visited[i] &&
            i > cur.level && (cur.level == 0 || graph[i][visited[cur.level-1]])) {
            // 当前节点可行，计算子节点的下界
            child.bound = cur.bound - 1;
            for (int j = i+1; j < N; j++) {
                if (graph[i][j] && !visited[j]) {
                    child.bound--;
                }
            }

            if (child.bound > max_size) {
                // 子节点的下界大于当前最大团大小，将子节点加入优先队列
                q.push(child);
            }
        }
    }

    // 不选择当前节点
    Node child2;
    init_node(child2, cur.level+1, cur.size);
    child2.bound = cur.bound - graph[cur.level][cur.level+1];
    if (child2.bound > max_size) {
        // 将不选择当前节点的子节点加入优先队列
        q.push(child2);
    }

    // 标记当前节点
    visited[cur.level] = true;
    dfs(cur.level, cur.size+1);
    visited[cur.level] = false;
}
int main() {
// 构造图的邻接矩阵表示
memset(graph, 0, sizeof(graph));
graph[0][1] = graph[1][0] = 1;
graph[0][2] = graph[2][0] = 1;
graph[0][3] = graph[3][0] = 1;
graph[0][4] = graph[4][0] = 1;
graph[1][2] = graph[2][1] = 1;
graph[1][3] = graph[3][1] = 1;
graph[1][4] = graph[4][1] = 1;
graph[2][3] = graph[3][2] = 1;
graph[2][4] = graph[4][2] = 1;
graph[3][4] = graph[4][3] = 1;
    maxclique_bnb();

cout << "Max clique size: " << max_size << endl;
cout << "Max clique nodes: ";
for (int i = 0; i < N; i++) {
    if (max_clique[i]) {
        cout << i << " ";
    }
}
cout << endl;

return 0;
时间复杂度分析：

对于最大团问题的分枝限界算法，每次搜索时可以通过剪枝减少大量的搜索空间，因此时间复杂度不会很高，但仍然是指数级别的。

具体来说，如果使用深度优先搜索，时间复杂度为 $O(2^n)$，其中 $n$ 为节点数量，因为每个节点都有选或不选两种情况。

如果使用优先队列优化的分枝限界算法，时间复杂度可以得到一定程度的优化。假设优先队列

7 プログラミング言語を使用して、部分集合和問題を解くための分岐限定アルゴリズム (すべての解を出力) を記述し、時間計算量を分析します。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void printSolution(const vector<int>& sol) {
    for (int i = 0; i < sol.size(); i++) {
        if (sol[i] == 1) {
            cout << i + 1 << " ";
        }
    }
    cout << endl;
}

void subsetSum(vector<int>& nums, int targetSum, vector<int>& path, int depth, int remainingSum) {
    if (remainingSum < 0) {
        return;
    }
    if (depth == nums.size()) {
        if (remainingSum == 0) {
            printSolution(path);
        }
        return;
    }

    // include current element
    path.push_back(1);
    subsetSum(nums, targetSum, path, depth + 1, remainingSum - nums[depth]);
    path.pop_back();

    // exclude current element
    path.push_back(0);
    subsetSum(nums, targetSum, path, depth + 1, remainingSum);
    path.pop_back();
}

int main() {
    vector<int> nums = {10, 7, 5, 18, 12, 20, 15};
    int targetSum = 35;

    vector<int> path;
    int remainingSum = 0;
    for (int num : nums) {
        remainingSum += num;
    }

    subsetSum(nums, targetSum, path, 0, remainingSum);

    return 0;
}

8.8.2 実験的な質問

1 プログラミング言語を使用して、ハミルトン ループ問題を解くための分岐限定アルゴリズム (すべてのハミルトン ループを出力) を記述し、時間計算量を分析します。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 20;

int n; // 图中顶点的数量
int graph[MAXN][MAXN]; // 图的邻接矩阵
vector<int> path; // 当前的解
bool visited[MAXN]; // 记录每个顶点是否被访问过

void printSolution(const vector<int>& sol) {
    for (int i = 0; i < sol.size(); i++) {
        cout << sol[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}

bool isValid(int vertex, int pos) {
    // 如果当前顶点已经在解中出现过，则不合法
    if (visited[vertex]) {
        return false;
    }

    // 如果当前顶点和上一个顶点之间没有边相连，则不合法
    if (pos > 0 && graph[path[pos - 1]][vertex] == 0) {
        return false;
    }

    // 如果当前顶点是起点，但是还没有遍历完所有的顶点，则不合法
    if (pos == n - 1 && graph[vertex][path[0]] == 0) {
        return false;
    }

    return true;
}

void hamiltonianCircuit(int pos) {
    if (pos == n) {
        if (graph[path[pos - 1]][path[0]] == 1) {
            printSolution(path);
        }
        return;
    }

    for (int vertex = 1; vertex < n; vertex++) {
        if (isValid(vertex, pos)) {
            path.push_back(vertex);
            visited[vertex] = true;

            hamiltonianCircuit(pos + 1);

            path.pop_back();
            visited[vertex] = false;
        }
    }
}

int main() {
    // 初始化图的邻接矩阵
    memset(graph, 0, sizeof(graph));
    graph[0][1] = graph[1][0] = 1;
    graph[0][2] = graph[2][0] = 1;
    graph[1][2] = graph[2][1] = 1;
    graph[1][3] = graph[3][1] = 1;
    graph[2][3] = graph[3][2] = 1;
    graph[2][4] = graph[4][2] = 1;
    graph[3][4] = graph[4][3] = 1;
    graph[3][5] = graph[5][3] = 1;
    graph[4][5] = graph[5][4] = 1;

    n = 6;
    path.push_back(0);
    visited[0] = true;

    hamiltonianCircuit(1);

    return 0;
}
在这个算法中，我们使用回溯法实现了分枝限界算法。我们首先将起点加入到解中，并将起点标记为已访问。在搜索的过程中，我们维护一个 path 数组，表示当前的解。对于每个顶点，我们都有多个选择：将其包含在解中或不包含在解中。因此，我们可以使用回溯法来递归地搜索所有可能的解。在递归的过程中，我们可以使用剪枝技巧来提高搜索的效率。具体来说，如果当前的解已经包含了所有的顶点，则可以检查最后一个顶点是否和起点相邻，如果相邻，则找到一个 Hamilton 回路。如果当前的解已经超过了所有的顶点，则可以直接返回。如果当前的解已经不可能找到一个 Hamilton 回路，则可以剪枝回溯。

时间复杂性分析：Hamilton 回路问题是一个 NP 完全问题，因此不存在多项式时间算法可以解决该问题。分枝限界算法的时间复杂度取决于搜索树的大小。在最坏情况下，搜索树的大小为 n!，因此时间复杂度为 O(n!)。但是，在实际情况中，使用剪枝技巧可以将搜索树的大小大大减小，从而提高搜索效率。因此，分枝限界算法的时间复杂度是具有一定不确定性的。

2 分岐限定法を使用してハミルトン回路の問題を解決します。ハミルトン回路を 1 つだけ出力する必要があるか、ハミルトン回路が存在しないことを報告します。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 20;

int n; // 图中顶点的数量
int graph[MAXN][MAXN]; // 图的邻接矩阵
vector<int> path; // 当前的解
bool visited[MAXN]; // 记录每个顶点是否被访问过

void printSolution(const vector<int>& sol) {
    for (int i = 0; i < sol.size(); i++) {
        cout << sol[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}

bool isValid(int vertex, int pos) {
    // 如果当前顶点已经在解中出现过，则不合法
    if (visited[vertex]) {
        return false;
    }

    // 如果当前顶点和上一个顶点之间没有边相连，则不合法
    if (pos > 0 && graph[path[pos - 1]][vertex] == 0) {
        return false;
    }

    // 如果当前顶点是起点，但是还没有遍历完所有的顶点，则不合法
    if (pos == n - 1 && graph[vertex][path[0]] == 0) {
        return false;
    }

    return true;
}

void hamiltonianCircuit(int pos) {
    if (pos == n) {
        if (graph[path[pos - 1]][path[0]] == 1) {
            printSolution(path);
        }
        return;
    }

    for (int vertex = 1; vertex < n; vertex++) {
        if (isValid(vertex, pos)) {
            path.push_back(vertex);
            visited[vertex] = true;

            hamiltonianCircuit(pos + 1);

            path.pop_back();
            visited[vertex] = false;
        }
    }
}

int main() {
    // 初始化图的邻接矩阵
    memset(graph, 0, sizeof(graph));
    graph[0][1] = graph[1][0] = 1;
    graph[0][2] = graph[2][0] = 1;
    graph[1][2] = graph[2][1] = 1;
    graph[1][3] = graph[3][1] = 1;
    graph[2][3] = graph[3][2] = 1;
    graph[2][4] = graph[4][2] = 1;
    graph[3][4] = graph[4][3] = 1;
    graph[3][5] = graph[5][3] = 1;
    graph[4][5] = graph[5][4] = 1;

    n = 6;
    path.push_back(0);
    visited[0] = true;

    hamiltonianCircuit(1);

    return 0;
}

3 プログラミング言語を使用して、0/1 ナップザック問題を解くための分枝限定アルゴリズムを記述し (最適解を出力する)、時間計算量を分析します。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Item {
    int weight; // 物品的重量
    int value; // 物品的价值
};

bool compareByRatio(const Item& a, const Item& b) {
    double ratio_a = (double)a.value / (double)a.weight;
    double ratio_b = (double)b.value / (double)b.weight;
    return ratio_a > ratio_b;
}

int knapsack(int capacity, const vector<Item>& items) {
    int n = items.size();

    // 根据单位价值排序
    vector<Item> sorted_items = items;
    sort(sorted_items.begin(), sorted_items.end(), compareByRatio);

    // 初始化最优解
    int best_value = 0;
    vector<bool> best_solution(n, false);

    // 初始化当前解
    int current_value = 0;
    int current_weight = 0;
    vector<bool> current_solution(n, false);

    // 初始化堆栈
    vector<int> stack;
    stack.push_back(-1);

    while (!stack.empty()) {
        int last_item_index = stack.back();
        stack.pop_back();

        // 遍历下一个物品
        int next_item_index = last_item_index + 1;
        if (next_item_index == n) {
            // 检查当前解是否是最优解
            if (current_value > best_value) {
                best_value = current_value;
                best_solution = current_solution;
            }
            continue;
        }

        // 不选下一个物品
        stack.push_back(next_item_index);

        // 选下一个物品
        if (current_weight + sorted_items[next_item_index].weight <= capacity) {
            current_weight += sorted_items[next_item_index].weight;
            current_value += sorted_items[next_item_index].value;
            current_solution[next_item_index] = true;

            double upper_bound = current_value;
            int remaining_capacity = capacity - current_weight;
            for (int i = next_item_index + 1; i < n; i++) {
                if (sorted_items[i].weight <= remaining_capacity) {
                    remaining_capacity -= sorted_items[i].weight;
                    upper_bound += sorted_items[i].value;
                } else {
                    upper_bound += (double)remaining_capacity / (double)sorted_items[i].weight * sorted_items[i].value;
                    break;
                }
            }

            if (upper_bound > best_value) {
                stack.push_back(next_item_index);
            }

            current_weight -= sorted_items[next_item_index].weight;
            current_value -= sorted_items[next_item_index].value;
            current_solution[next_item_index] = false;
        }
    }

    // 输出最优解
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (best_solution[i]) {
            cout << i << " ";
        }
    }
    cout << endl;

    return best_value;
}

int main() {
    int capacity = 10;
    vector<Item> items = {
        {2, 6},
        {2, 10},
        {3, 12},
        {4, 14},
        {5, 18}
    };

    int value = knapsack(capacity, items);
    cout << "max value: " << value << endl;

    return 0;
}

4 分岐限定法を使用してサブセット合計問題を解決し、条件を満たすサブセットを 1 つだけ出力する必要があるか、条件を満たすサブセットが存在しないことを報告します。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

bool subsetSum(const vector<int>& nums, int target, vector<int>& solution) {
    int n = nums.size();

    // 初始化堆栈
    vector<int> stack;
    stack.push_back(-1);

    while (!stack.empty()) {
        int last_index = stack.back();
        stack.pop_back();

        // 遍历下一个元素
        int next_index = last_index + 1;
        if (next_index == n) {
            // 检查当前解是否符合条件
            int sum = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (solution[i] == 1) {
                    sum += nums[i];
                }
            }
            if (sum == target) {
                return true;
            }
            continue;
        }

        // 不选下一个元素
        stack.push_back(next_index);

        // 选下一个元素
        solution[next_index] = 1;
        stack.push_back(next_index);

        // 回溯
        solution[next_index] = 0;
    }

    return false;
}

int main() {
    vector<int> nums = {3, 1, 2, 8, 7, 5};
    int target = 14;

    vector<int> solution(nums.size(), 0);
    bool found = subsetSum(nums, target, solution);

    if (found) {
        cout << "subset found: ";
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (solution[i] == 1) {
                cout << nums[i] << " ";
            }
        }
        cout << endl;
    } else {
        cout << "no subset found" << endl;
    }

    return 0;
}

5 色を付ける必要がある無向グラフに対して、分枝限定法を使用して、最小の色の色スキームを選択してください。

    请使用分枝限界方法为一个需要着色的无向图选取一种颜色数目最少的着色方案
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_set>
using namespace std;

// 无向图结构体
struct Graph {
    int V; // 顶点数
    vector<unordered_set<int>> adj; // 邻接表

    Graph(int V) : V(V), adj(V) {}
    void addEdge(int u, int v) {
        adj[u].insert(v);
        adj[v].insert(u);
    }
};

// 检查当前节点的颜色是否与相邻节点的颜色冲突
bool isSafe(const Graph& g, const vector<int>& colors, int node, int color) {
    for (int neighbor : g.adj[node]) {
        if (colors[neighbor] == color) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// 使用分枝限界法为无向图着色
void colorGraph(const Graph& g, vector<int>& colors, int& minColors) {
    int n = g.V;

    // 初始化堆栈
    vector<pair<int, int>> stack; // (node, color)
    stack.push_back(make_pair(-1, 0));

    while (!stack.empty()) {
        pair<int, int> last_node_color = stack.back();
        stack.pop_back();

        // 遍历下一个节点
        int next_node = last_node_color.first + 1;
        if (next_node == n) {
            // 检查当前解是否符合条件
            int max_color = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                max_color = max(max_color, colors[i]);
            }
            if (max_color < minColors) {
                minColors = max_color;
            }
            continue;
        }

        // 尝试每种颜色
        for (int color = 1; color <= n; color++) {
            if (isSafe(g, colors, next_node, color)) {
                colors[next_node] = color;
                stack.push_back(make_pair(next_node, color));
                colors[next_node] = 0;
            }
        }
    }
}

int main() {
    Graph g(5);
    g.addEdge(0, 1);
    g.addEdge(0, 2);
    g.addEdge(1, 2);
    g.addEdge(1, 3);
    g.addEdge(2, 3);
    g.addEdge(3, 4);

    vector<int> colors(g.V, 0);
    int minColors = g.V + 1;
    colorGraph(g, colors, minColors);

    cout << "Minimum number of colors required: " << minColors << endl;

    return 0;
}

9.6.1

1 クイックソートプログラムとパーティションベースの選択プログラムをランダムな方法で書き換える

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

// 交换两个元素
void swap(int& a, int& b) {
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}

// 选取基准元素并将其放在正确的位置上
int partition(int arr[], int low, int high) {
    // 选取随机位置上的元素作为基准元素
    int randomIndex = low + rand() % (high - low + 1);
    swap(arr[randomIndex], arr[high]);
 
    int pivot = arr[high];
    int i = low - 1;
 
    for (int j = low; j <= high - 1; j++) {
        if (arr[j] <= pivot) {
            i++;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    swap(arr[i + 1], arr[high]);
    return i + 1;
}

// 随机化快速排序
void quicksort(int arr[], int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pivot = partition(arr, low, high);
        quicksort(arr, low, pivot - 1);
        quicksort(arr, pivot + 1, high);
    }
}

int main() {
    srand(time(NULL));
    int arr[] = {3, 5, 1, 7, 2, 8, 4, 6};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    quicksort(arr, 0, n - 1);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << arr[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}





#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

// 交换两个元素
void swap(int& a, int& b) {
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}

// 选取基准元素并将其放在正确的位置上
int partition(int arr[], int low, int high) {
    // 选取随机位置上的元素作为基准元素
    int randomIndex = low + rand() % (high - low + 1);
    swap(arr[randomIndex], arr[high]);
 
    int pivot = arr[high];
    int i = low - 1;
 
    for (int j = low; j <= high - 1; j++) {
        if (arr[j] <= pivot) {
            i++;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    swap(arr[i + 1], arr[high]);
    return i + 1;
}

// 基于划分的选择算法
int select(int arr[], int low, int high, int k) {
    if (low == high) {
        return arr[low];
    }
    int pivot = partition(arr, low, high);
    int rank = pivot - low + 1;
    if (k == rank) {
        return arr[pivot];
    } else if (k < rank) {
        return select(arr, low, pivot - 1, k);
    } else {
        return select(arr, pivot + 1, high, k - rank);
    }
}

int main() {
    srand(time(NULL));
    int arr[] = {3, 5, 1, 7, 2, 8, 4, 6};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    int k = 3;
    int kthSmallest = select(arr, 0, n - 1, k);

    cout << k << "-th smallest element is " << kthSmallest << endl;

    return 0;
}

2 ランダムシャッフルアルゴリズムのプログラムを書いてください

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <vector>
using namespace std;

void shuffle(vector<int>& cards) {
    int n = cards.size();
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        int j = rand() % (i + 1);
        swap(cards[i], cards[j]);
    }
}

int main() {
    srand(time(NULL));
    vector<int> cards = {1, 2, 3, 4, 5};
    shuffle(cards);
    for (int card : cards) {
        cout << card << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

3 巡回セールスマン問題 (t 以下の旅行があるかどうか) に対するラスベガスのアルゴリズムを設計してください。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int INF = 1e9;

// 生成随机解
vector<int> randomSolution(int n) {
    vector<int> solution(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        solution[i] = i;
    }
    random_shuffle(solution.begin(), solution.end());
    return solution;
}

// 计算路径长度
int calculateDistance(const vector<vector<int>>& graph, const vector<int>& solution) {
    int distance = 0;
    int n = solution.size();
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        distance += graph[solution[i]][solution[i + 1]];
    }
    distance += graph[solution[n - 1]][solution[0]];
    return distance;
}

// 拉斯维加斯算法
vector<int> tspLasVegas(const vector<vector<int>>& graph, int t) {
    int n = graph.size();
    vector<int> bestSolution;
    int bestDistance = INF;
    int startTime = time(NULL);
    while (time(NULL) - startTime < t) {
        vector<int> solution = randomSolution(n);
        int distance = calculateDistance(graph, solution);
        if (distance < bestDistance) {
            bestDistance = distance;
            bestSolution = solution;
        }
    }
    return bestSolution;
}

int main() {
    srand(time(NULL));

    // 构造一个5个城市的图
    vector<vector<int>> graph = {
        {0, 2, 9, 10, 5},
        {2, 0, 6, 4, 8},
        {9, 6, 0, 7, 1},
        {10, 4, 7, 0, 3},
        {5, 8, 1, 3, 0}
    };
    int t = 1; // 时间限制为1秒

    vector<int> solution = tspLasVegas(graph, t);
    int distance = calculateDistance(graph, solution);

    cout << "Best solution: ";
    for (int city : solution) {
        cout << city << " ";
    }
    cout << endl;
    cout << "Distance: " << distance << endl;

    return 0;
}

4 0/1 ナップザック問題のラスベガス アルゴリズムを設計してください (t 以上の利点とパッキング方法があるかどうか)

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <vector>
using namespace std;

const int INF = 1e9;

// 生成随机解
vector<int> randomSolution(int n) {
    vector<int> solution(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        solution[i] = rand() % 2;
    }
    return solution;
}

// 背包问题的价值函数
int knapsackValue(const vector<int>& weights, const vector<int>& values, const vector<int>& solution, int capacity) {
    int n = weights.size();
    int value = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (solution[i] == 1) {
            capacity -= weights[i];
            if (capacity < 0) {
                return -INF;
            }
            value += values[i];
        }
    }
    return value;
}

// 拉斯维加斯算法
vector<int> knapsackLasVegas(const vector<int>& weights, const vector<int>& values, int capacity, int t) {
    int n = weights.size();
    vector<int> bestSolution;
    int bestValue = -INF;
    int startTime = time(NULL);
    while (time(NULL) - startTime < t) {
        vector<int> solution = randomSolution(n);
        int value = knapsackValue(weights, values, solution, capacity);
        if (value > bestValue) {
            bestValue = value;
            bestSolution = solution;
        }
    }
    return bestSolution;
}

int main() {
    srand(time(NULL));

    // 构造一个5个物品的背包问题
    vector<int> weights = {2, 3, 4, 5, 6};
    vector<int> values = {3, 4, 5, 6, 7};
    int capacity = 10; // 背包容量为10
    int t = 1; // 时间限制为1秒

    vector<int> solution = knapsackLasVegas(weights, values, capacity,

5 フェルマーの小定理を使用して、素数性テストのための確率アルゴリズムを構築してください。

フェルマーの小定理は、数値が素数かどうかを判断する方法です。基本的な考え方は、任意の素数 p と整数 a について、a^p mod p は a に等しいということです。つまり、数値 n に対して整数 a をランダムに選択し、a^(n-1) mod n が 1 に等しくない場合、n は素数であってはなりません。 mod n が 1 に等しい場合、n は素数になる可能性がありますが、そうである必要はありません。

この考えに基づいて、フェルマーミラー素数検定と呼ばれる確率アルゴリズムを構築できます。アルゴリズムの基本的な考え方は次のとおりです。

  1. 1 < a < n-1 となる整数 a をランダムに選択します。
  2. a^(n-1) mod n の値を計算します。
  3. a^(n-1) mod n が 1 に等しくない場合、n は素数であってはならず、結果を直接返すことができます。
  4. a^(n-1) mod n が 1 に等しい場合、さらなるテストが必要です。
  5. n-1 が 2^r * k の形式で表現できるような整数 k を選択します。ここで、r と k は両方とも正の整数であり、k は奇数です。
  6. 1 から r までの i について、a (2 (i-1) * k) mod nの値を計算します。
  7. (2 (i-1) * k) mod n が n-1 に等しいようなi が存在する場合、n は素数になる可能性がありますが、必ずしもそうである必要はありません。
  8. (2 (i-1) * k) mod n がすべての i についてn-1 に等しくない場合、 n は素数であってはなりません。

このアルゴリズムの正しさは、フェルマーの小定理とオイラーの定理に基づいています。このアルゴリズムの時間計算量は O(k * log^3(n)) です。ここで、k はテストの数です。一般的に、k の値は 15 ～ 20 の範囲であれば要件を満たすことができます。

以下は C++ コードの実装です。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>

using namespace std;

int power(int x, int y, int p)
{
    int res = 1;
    x = x % p;

    while (y > 0)
    {
        if (y & 1)
            res = (res*x) % p;

        y = y>>1;
        x = (x*x) % p;
    }
    return res;
}

bool isPrime(int n, int k)
{
    if (n <= 1 || n == 4) return false;
    if (n <= 3) return true;

    while (k > 0)
    {
        int a = 2 + rand()%(n-4);

        if (power(a, n-1, n) != 1)
            return false;

        int d = n-1;
        while (d % 2 == 0)
            d /= 2;

        int x = power(a, d, n);

        if (x == 1 || x == n-1)
            continue;

        for (int i = 0; i < d-1; i++)
        {
            x = (x*x) % n;

            if (x == 1)
                return false;

            if (x == n-1)
                break;
        }

        if (x != n-1)
            return false;

        k--;
    }

    return true;
}

int main()
{
    int n = 23;
    int k = 15;

    if (isPrime(n, k))
        cout << n << " is prime" << endl;
    else
        cout << n << " is not prime" << endl;

    return 0;
}

上記のコードでは、isPrime 関数を使用して数値が素数かどうかを判定します。n は判定対象の数値、k はテストの回数です。この関数は、まずいくつかの特殊なケースを判断し、次に整数 a をランダムに選択し、フェルマーの小定理を使用して n が素数かどうかを判断します。素数でない場合は、結果が直接返されます。素数の場合は、(2 (i-1) * k) mod n が n-1 に等しいかどうかを確認するさらなるテストが実行されます。(2 (i-1) * k) mod n が n-1 に等しいようなi が存在する場合、n は素数になる可能性がありますが、必ずしもそうである必要はありません。(2 (i-1) * k) mod n がすべての i についてn-1 に等しくない場合、 n は素数であってはなりません。

​

9.6.2

実験的な質問

1 ハミルトン回路問題のラスベガスアルゴリズムを設計してください (ハミルトン回路があるかどうか)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <random>

using namespace std;

const int MAXN = 20; // 最大顶点数
int n; // 顶点数
int g[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵

// 随机生成一个顶点序列
vector<int> random_permutation() {
    vector<int> perm(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        perm[i] = i;
    }
    shuffle(perm.begin(), perm.end(), default_random_engine());
    return perm;
}

// 检查是否存在Hamilton回路
bool check_hamilton_loop(const vector<int>& perm) {
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        if (g[perm[i]][perm[i+1]] == 0) {
            return false;
        }
    }
    if (g[perm[n-1]][perm[0]] == 0) {
        return false;
    }
    return true;
}

// 拉斯维加斯算法
bool hamilton_loop() {
    // 随机生成多个顶点序列进行检查
    const int MAX_ITERATIONS = 1000;
    for (int i = 0; i < MAX_ITERATIONS; i++) {
        vector<int> perm = random_permutation();
        if (check_hamilton_loop(perm)) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    // 读入图的邻接矩阵
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> g[i][j];
        }
    }

    // 检查是否存在Hamilton回路
    if (hamilton_loop()) {
        cout << "存在Hamilton回路" << endl;
    } else {
        cout << "不存在Hamilton回路" << endl;
    }

    return 0;
}

2 クイーン問題に対するラスベガスのアルゴリズムを設計してください (解決策があるかどうか)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <random>

using namespace std;

const int MAXN = 100; // 最大皇后数
int n; // 皇后数
int column[MAXN]; // 每行皇后所在的列

// 检查是否存在冲突
bool conflict(int row, int col) {
    for (int i = 0; i < row; i++) {
        if (column[i] == col || row - i == abs(col - column[i])) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

// 随机生成一个初始解
void random_initialization() {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        column[i] = rand() % n;
    }
}

// 拉斯维加斯算法
bool queens() {
    const int MAX_ITERATIONS = 1000;
    for (int i = 0; i < MAX_ITERATIONS; i++) {
        random_initialization();
        bool is_valid = true;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // 随机选择一列进行移动
            int col = rand() % n;
            if (!conflict(j, col)) {
                column[j] = col;
            } else {
                is_valid = false;
                break;
            }
        }
        if (is_valid) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    // 读入皇后数
    cin >> n;

    // 检查是否存在解
    if (queens()) {
        cout << "存在皇后放置方案" << endl;
    } else {
        cout << "不存在皇后放置方案" << endl;
    }

    return 0;
}

3 部分集合和問題 (t の部分集合が存在するかどうか) に対するラスベガス アルゴリズムを設計してください。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <random>

using namespace std;

const int MAXN = 100; // 最大元素数
int n; // 元素数
int a[MAXN]; // 元素值
int t; // 目标和

// 检查是否存在和为t的子集
bool check_subset_sum() {
    // 随机生成一个01序列，用于表示当前的子集
    vector<int> subset(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        subset[i] = rand() % 2;
    }

    // 检查当前子集的和是否为t
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (subset[i] == 1) {
            sum += a[i];
        }
    }
    return sum == t;
}

// 拉斯维加斯算法
bool subset_sum() {
    const int MAX_ITERATIONS = 1000;
    for (int i = 0; i < MAX_ITERATIONS; i++) {
        if (check_subset_sum()) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    // 读入元素数和目标和
    cin >> n >> t;

    // 读入元素值
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    // 检查是否存在和为t的子集
    if (subset_sum()) {
        cout << "存在和为" << t << "的子集" << endl;
    } else {
        cout << "不存在和为" << t << "的子集" << endl;
    }

    return 0;
}

4 クリーク問題 (頂点数が k 以上のクリークが存在するかどうか) に対するラスベガス アルゴリズムを設計してください。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <random>

using namespace std;

const int MAXN = 100; // 最大顶点数
int n; // 顶点数
int g[MAXN][MAXN]; // 图的邻接矩阵
int k; // 团的大小下限

// 检查是否存在顶点数不小于k的团
bool check_clique() {
    // 随机选择一个顶点作为团的起点
    int start = rand() % n;
    
    // 初始化团
    vector<int> clique;
    clique.push_back(start);
    
    // 逐步扩展团
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i == start) {
            continue;
        }
        bool is_clique = true;
        for (int v : clique) {
            if (g[v][i] == 0) {
                is_clique = false;
                break;
            }
        }
        if (is_clique) {
            clique.push_back(i);
            if (clique.size() >= k) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

// 拉斯维加斯算法
bool clique() {
    const int MAX_ITERATIONS = 1000;
    for (int i = 0; i < MAX_ITERATIONS; i++) {
        if (check_clique()) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    // 读入顶点数和团的大小下限
    cin >> n >> k;

    // 读入图的邻接矩阵
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> g[i][j];
        }
    }

    // 检查是否存在顶点数不小于k的团
    if (clique()) {
        cout << "存在顶点数不小于" << k << "的团" << endl;
    } else {
        cout << "不存在顶点数不小于" << k << "的团" << endl;
    }

    return 0;
}

5 与えられた整数関数 f(x) が常に 0 に等しいかどうかを判断するモンテカルロ アルゴリズムを確率法を使用して設計し、アルゴリズムを記述するためにプログラミング言語を使用してください。その C/C++ 関数のプロトタイプは「bool iszero」です。 (int f(int), int n);"、n は最大 n 回の比較後に答えを与えることを意味します

#include <iostream>
#include <random>

using namespace std;

// 判断函数f是否恒等于0，最多进行n次比较
bool iszero(int (*f)(int), int n) {
    // 随机生成n个整数，作为函数的参数
    random_device rd;
    mt19937 gen(rd());
    uniform_int_distribution<> dis(-1000, 1000);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x = dis(gen);
        if (f(x) != 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// 测试函数，判断一个整数是否为偶数
int is_even(int x) {
    return x % 2;
}

int main() {
    // 测试is_even函数是否恒等于0
    if (iszero(is_even, 1000)) {
        cout << "is_even函数恒等于0" << endl;
    } else {
        cout << "is_even函数不恒等于0" << endl;
    }

    return 0;
}

上記のコードでは、まず関数 f のパラメーターとして n 個の整数をランダムに生成します。次に、パラメーターごとに f(x) の値を計算します。f(x) が 0 に等しくないパラメータがある場合、関数 f が 0 に等しくないことを意味し、false を返します。すべてのパラメーターが f(x) が 0 に等しいことを満たしている場合、関数 f は常に 0 に等しく、true を返すことを意味します。繰り返し回数 n は実際の条件に応じて調整できます。

このアルゴリズムのランダム性は、主に関数のパラメーターをランダムに生成するプロセスに反映されます。毎回生成されるパラメータはランダムであるため、各アルゴリズムの実行結果は異なる場合があります。このランダム性により、アルゴリズムのグローバル検索能力が向上し、それによってアルゴリズムが局所的な最適解に陥るリスクが軽減されます。

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転載: blog.csdn.net/CSH__/article/details/130311080
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