アルゴリズムの設計と解析[0009]動的計画法（II）（最大合計/製品サブアレイ）

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　この記事53.最大サブアレー＆152サブアレー最大プロダクトスプリットとサブ問題解決：動的プログラミングのアイデアの問題を解決する鍵の分析。

問題の説明

• 同様の問題点を解決するために、2つの問題は、出力シーケンスを必要としないにもかかわらず、特定の数学的特性（最大値と最大値の/生成物）を満たすように配列与えられた配列に解決されます。

• キーフレーズは、に注意を払うことですcontaining at least one numberので、特別な治療法として私たちを鼓舞することができ、少なくとも所定の配列要素は、そこにあります。

53.最大サブアレイ問題解決のアイデア

• 思想：$合計は[j]は$答えと比較し、$和[N] $、として解決するためのシーケンスjの要素と副問題前に最大サブセグメントです。しかし、どのように$の合計を使用するように、[1、2、...、J-1] $ $に合計[j]は$それを解決しますか？明らかに、最大フィールドと旧J-要素サブセグメントの開始位置と終了位置を知る必要があり、サブ状態遷移の問題を解決することは、明らかに、より複雑です。
• それを別の思考を置きます。二つのアイデア：$和[J] $ $のMAX_ {1当量のj個の当量の、子サブセグメントと問題解決のj番目の要素の第一の端部で最大サブセグメントであり 、N}（合計[J]）$が全体でありますそして、最大サブセグメント配列。$和[J-1] $ $現在の要素を通ってNUMS [j]は$のj番目の要素で計算することができる最大のサブセグメントと$和を終了する[J] $、であり状态转移方程、以下のように：
  。$$和[j個の+ 1 ] = {ケース} NUMS [開始 J + 1]和を[J] LT 0 CR和[J] + NUMS [J + 1]人が{ケース}を終了$$
• 2つのアイデアは、53の最大サブアレイが、以下に答えるために：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

クラス { パブリック： INT maxSubArray （ベクトル < INT >＆NUMS） { int型 SizeofNums = nums.size（）。もし（SizeofNums == 1）{戻り NUMS [ 0 ]。 } int型の合計[SizeofNums]。 合計[ 0 ] = NUMS [ 0 ]。用（ INTは I = 1 ; iはSizeofNumsを<; iは++）{ 合計[I] =合計[I -1 ] < 0？NUMS [I]：合計[I -1 ] + NUMS [I]。 } INT largestSum =合計[ 0 ]。以下のために（int型 i = 1 ; iはSizeofNumsを<; iは++）{ 場合（largestSum <和[I]）{ largestSum =和を[I]。 } } 戻り largestSumと、 } }。

• 得るためにlargestSum、我々はでき変数に対応する配列startIdxの端部にj番目の要素を記録する（endIdx開始位置）と最大サブセグメント、対応するサブシーケンスは、$ NUMSを[startIdxは、...、 endIdx] $は、 対応する配列です。さらに、検討し、現在の状態と以前の状態にのみ関連する取得回避しながら、メモリを節約、代わりに配列変数を使用することができThe largest sum of the whole array、時間の繰り返しサイクルを。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

クラス 解決 { パブリック： INT maxSubArray （ベクトル < INT >＆NUMS） { int型 SizeofNums = nums.size（）。もし（SizeofNums == 1）{戻り NUMS [ 0 ]。 }現在の要素で終わるサブアレイ用//最大和INT curSum = NUMS [ 0 ]。全体のアレイの部分配列の//最大合計int型 largestSum = curSum。//サブアレイ[startIdx、endIdx]アレイ全体の最大の和を有するINT startIdx = 0、endIdx = 0 ; 以下のために（int型 i = 1 ; iはSizeofNumsを<; iは++）{ 場合（カーソル< 0）{ カーソル= NUMS [I]。 startIdx = I; } エルス { カーソル速度+ = NUMS [I]。 } の場合（ランナー> largestSum）{ largestSum =速度; endIdx = I; } } 戻り largestSum。 } }。

152最高の製品サブアレイ問題解決のアイデア

• プロセスを解く問題は、以前の質問に実質的に類似しているが、解決すべき重要な問題がある：状態遷移、すなわち、サブ問題に回答に基づいて計算される方法（j番目の要素への最大積は、サブセグメントの終わりで）、あります現在のサブ問題の結果。
• 从上一题的分析可以看出，当前子问题（以第 j 个元素为结尾的子段的max sum）的计算只需考虑上一个子问题的结果 $sum[j-1]$，$sum[j-1] < 0$，因为是加法，显然可以将子问题结果忽略；$sum[j-1] > 0$，$sum[j-1]$ 加上当前元素就是当前子问题的结果。
• 类似的问题，只不过换成乘积，子问题的求解就变得复杂了，需要考虑以下几种情况：
  • 当前元素是正数，max product可能是正正得正的情况，因为都是整数，乘积＞1，上一子问题的结果乘上当前元素即为当前子问题的答案
  • 当前元素是负数，max product可能是负负得正的情况，因此需要维护以第 j 个元素为结尾的子段的min product（很大可能是负数）
  • 另外，需要考虑上一个子问题的结果为0的情况
  • 总之，乘积的最大值为上述三种情况之一
    状态转移方程如下：
    $$ maxProducts[j+1] = max(maxProducts[j-1]*nums[j], minProducts[j-1]*nums[j], nums[j])$$
• 152. Maximum Product Subarray 解答如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

class Solution { public: int maxProduct(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size(); if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } // The largest/least product of subarray ending with the i-th element int maxProducts[SizeofNums]; int minProducts[SizeofNums]; maxProducts[0] = minProducts[0] = nums[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { // positive with positive, negative with negative, ignore previous zero maxProducts[i] = max( max(maxProducts[i-1]*nums[i], minProducts[i-1]*nums[i]), nums[i]); // positive with negative, negative with positive, ignore previous zero minProducts[i] = min( min(maxProducts[i-1]*nums[i], minProducts[i-1]*nums[i]), nums[i]); } // getting the largest product for the whole array int largestProduct = maxProducts[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { if(maxProducts[i] > largestProduct) { largestProduct = maxProducts[i]; } } return largestProduct; } };

• 与上一题类似，添加额外变量，也能实现节省内存，记录子段最大乘积对应子段（$nums[startIdx, endIdx]$）的起始和终止位置。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

class Solution { public: int maxProduct(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size(); if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } // The largest/least product of subarray ending with the i-th element int largestProduct = nums[0]; int leastProduct = nums[0]; // The largest product for the whole array int maxProduct = largestProduct; // subarray[startIdx, endIdx] with largest product for the whole array int startIdx = 0, endIdx = 0; // start index for largestProduct/leastProduct int startIdx_pos = startIdx, startIdx_neg = startIdx; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { int largestProduct_pre = largestProduct; int leastProduct_pre = leastProduct; // positive with positive, negative with negative, ignore previous zero largestProduct = max( max(largestProduct_pre*nums[i], leastProduct_pre*nums[i]), nums[i]); if((largestProduct_pre != nums[i]) && (largestProduct == nums[i])) { startIdx_pos = i; } // positive with negative, negative with positive, ignore previous zero leastProduct = min( min(largestProduct_pre*nums[i], leastProduct_pre*nums[i]), nums[i]); if((leastProduct_pre != nums[i]) && (leastProduct == nums[i])) { startIdx_neg = i; } if(largestProduct > maxProduct) { maxProduct = largestProduct; if(largestProduct_pre*nums[i] > leastProduct_pre*nums[i]) { startIdx = startIdx_pos; } else { startIdx = startIdx_neg; } endIdx = I; } } 戻り maxProduct。 } }。