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カルマン フィルターは線形モデルのみを満たすことができるため、非線形モデルに遭遇すると、ガウス分布は重ね合わせを満たさなくなります。そこで、非線形を線形に変更できるでしょうか?
良いアイデアです。テイラー展開を使用して、元の非線形状態遷移式を 1 次または 2 次のテイラー展開に拡張することで、元の非線形を線形に変換し、元のカルマン フィルターの結論を適用してそれを行うことができます。
ここで、新しいモデルを提供します。今回の解析の非線形モデルとして、回転速度と速度が一定のモデル (Constant Turn Rate and Velocity、CTRV) を提供します。このモデルも非常に有名で、後で詳しく説明します。
{
- 等速モデル（等速、CV）
- 定加速度 (CA)
- 一定の回転速度と速度 (CTRV)
- 一定回転速度と加速度 (CTRA)
これらはいくつかのスポーツ モデルです。後で時間があるときに 1 つずつ学習します。
この CTRV モデルでは次のようになります。
目標状態量:
伝達方程式は次のとおりです。
w は 0 に近づく傾向があるため、新しい状態遷移方程式が得られます。
明らかに、上記の遷移方程式は非線形です。この時点では、以前のように状態遷移行列を直接予測して分析することはできません。この時点で、予測関数を取得できます。
このうち、g() g() g() は CTRV 運動モデルの状態遷移関数を表し、u uu は処理ノイズを表します。非線形システムの下での問題を解決するために、拡張カルマン フィルター (EKF) を導入します。
拡張カルマンフィルター
拡張カルマン フィルターは、線形変換を使用して非線形線形変換を近似します。具体的には、EKF は線形化に 1 次テイラー展開を使用します。
この状態遷移方程式については、彼のヤコビアン行列 (多変量関数の各独立変数に対する各従属変数の一次偏導関数で構成される行列) を見つけることができます。
特定のヤコビアン行列は、トップのブログにあります。
ヤコビアン行列を取得した後、元の KF 式を次の式に書き直すことができます。この式の私の理解は次のとおりです。最初の状態遷移式は理解しやすいです。これは、Xk を前の状態から状態に遷移させることです。方程式は次の状態を見つけますが、なぜ次の共分散行列に J が乗算されるのでしょうか? これは、元の非線形状態遷移方程式 Taylor を次のように拡張するためです。
ここで u は前の状態と見なすことができます, それは前の状態のテイラー展開に等しい. そのような変換後の X の各状態について, それを上記の一次式に取り込む必要があります, それはプロパティによって決定されます分散と共分散の関係 つまり、D(aX+b)=aXa.T の場合
したがって、ノイズによって生じる不確実性 Q を加えた次の式が得られます。
以降の測定における行列変換についても同様です。
