1. カルマンの導出:
1) まず確率システムの状態空間モデルを見てください: (線形)
いわゆる線形というのは、再帰式や状態遷移方程式が線形であることを意味します。
パラメータの説明については、自分で本を読んでください。
2) 時間 k-1 での値から時間 k-1 での最適状態推定値を引いた値 = 時間 k-1 での状態推定誤差。まず、時刻 k-1 での状態推定誤差 (基準値と推定値の間の偏差) を計算します。
3) 時刻 k-1 での最適な状態推定とシステム状態方程式に従って、時刻 k-1 での状態 (現在の時間) を最適に推定できます (最適な 1 ステップ予測):
4)状態の1 ステップ予測誤差の計算:
5) 1) と 3) を 4) に入れ、2) を組み合わせると、次の
状態が得られます。予測誤差が計算され、状態が計算されます。 平均二乗誤差行列のワンステップ予測:
一方、k-1 回の状態推定誤差行列は
次のとおりです。 同じ方法で計算および測定します。
1) ワンステップを通じてシステムの状態と測定式の予測により、時間ごとの測定のワンステップ予測を行うことができます。 2
)測定ワンステップ予測誤差の式は次のとおりです。
3) システム式と 1) 式を次のように導きます。 2)測定ワンステップ予測誤差を取得します。
4) 測定ワンステップ予測、状態ワンステップ予測、および測定ワンステップ予測の平均二乗誤差行列を計算します。 共平均二乗誤差行列: これまでのところ
、システムの状態方程式の 1 ステップ予測を利用して現時点の値を推定することは可能ですが、測定方程式の情報を使用しないため、推定精度は高くありません。そして、測定 1 ステップ予測誤差には状態 1 ステップ予測の情報が含まれているため、総合的に考慮して、現在の状態推定を測定 1 ステップ予測誤差で補正し、最終的な最適な状態推定とします。
5) 上式を簡略化すると、
現在の状態推定値は、直前の状態推定値と現在の測定値の線形結合 (重み付け推定) であり、以前の推定値を測定誤差で補正して、事後推定。
次に、事後推定誤差 (現時点での状態推定誤差) を最小にする K を計算します。
6) 現時点での状態推定誤差 k は次のとおりです。
7) 上の式 5) を 6) に代入すると、次のようになります。
8)同様にモーメント k を求めます（現在のモーメント） 状態推定の平均二乗誤差行列：
9) 推定誤差はランダムベクトルであり、「誤差を最小化する」という意味は、平均値の和を最小にすることと規定されています。各成分の二乗誤差。これは
以下と同等です。
10) 平均二乗誤差行列は対称行列でなければならないため、式 8) は次のように展開できます。 11)式の
両側でトレース演算を同時に求めます。 10)
、そして取得: 上の式は未決定パラメータ行列 K に関する二次関数であるため、tr§ は極値を持たなければなりません (確率の意味に従って、ここでは最小値である必要があります)。
導出法の使用を容易にして上記の式の極値を取得するために、正方行列のトレースから行列を導出する次の 2 つの式を導入します。 両側の K を同時に
導出：
関数の極値から求めます。
つまり、K のとき、上記の値と等しいとき、現状推定誤差が最も小さくなります。この時点で、上記の式を 10) に代入して、時間 k における二乗平均平方根誤差行列を取得します。
これまでのところ、カルマン フィルターの 5 つの式が推定されています。
2. 拡張カルマン導出:
1) まずシステム確率システムの状態空間モデルを見てください: (非線形)
カルマンとの唯一の違いは、拡張カルマンは非線形モデルを扱うため、(予測または測定に関係なく) 状態遷移方程式にはテイラー展開が必要であることです。 ) 線形化のためのヤコビ行列を取得します。
1) 時刻 k-1 での状態推定を同様に計算します。
2) 時刻 k-1 での最適な状態推定とシステム状態方程式に従って、時刻 k (現時点) での状態を最適に推定できます (最適1 ステップ予測): 3 ) 計算状態
の 1 ステップ予測誤差は次のとおりです。カルマン導出では、このステップはシステム方程式に直接組み込まれますが、ここでは最初に線形化する必要があります。測定:したがって、元の非線形システムは線形システムとして書き換えることができます: 5 つの式を書き換えます:
