カメラキャリブレーションの基本 - 関連する座標系

1. カメラキャリブレーションのための 4 つの座標系

1.1 世界座標系

1.2 カメラ座標系

1.3 像面座標系

1.4 ピクセル座標系

2. 座標系間の変換関係

2.1 ワールド座標系とカメラ座標系の間の変換

2.2 カメラ座標系と画像平面座標系間の変換

2.3 画面座標系とピクセル座標系の変換

1. カメラキャリブレーションのための 4 つの座標系

図 1 に示すように、カメラキャリブレーションプロセス中に画像上のピクセルポイントと空間内の 3 次元ポイントの間の関係をより適切に説明および計算するために、まず 4 つの座標系が定義されます: 世界座標系、カメラ座標系 $O_w-X_wY_wZ_w$ 、 $O_c-X_cY_cZ_c$ 画像平面座標系 $ああ、そういえば$ 、ピクセル座標系 $o-uv$ 。

1.1 世界座標系

世界座標系を設定する目的は、カメラの位置、フィーチャターゲットの位置など、実際の 3D 世界のオブジェクトの位置を均一に記述することです。実際のアプリケーションでは、世界座標系は、 $ああ$ 空間内の任意の点を原点として確立されたデカルト 3 次元座標系です。

1.2 カメラ座標系

カメラ座標系 $O_c-X_cY_cZ_c$ もデカルト座標系です。カメラ座標系は、空間的な 3 次元情報と 2 次元の画像情報の間の重要な媒体であり、図 1 に示すように、原点はカメラの $O_c$ 光学中心に設定され、 $Z_c$ 軸はカメラの光軸であり、方向は外側です。 $X_cO_cY_c$ この平面はカメラの光軸に垂直であり、 $X_c$ 軸は画像面の横方向に平行です。

1.3 像面座標系

画像平面座標系は画像平面上の特徴点の位置座標を記述するために使用され、座標単位は一般にミリメートルです。 $ああ$ 像面座標系は、図1に示すように、像面上に確立される2次元の座標系であり、カメラ $Z_c$ 座標軸と像面との交点を座標の原点とし、各軸と各軸は平行で $バツ$ ある $y$ 。それぞれカメラ座標系の $X_c$ 軸と軸に対応します。 $Y_c$ 画像平面座標系の原点 $ああ$ とカメラ座標系の原点の $O_c$ 間の距離がカメラの焦点距離です $f$ 。

1.4 ピクセル座標系

カメラによって収集された画像は通常、ピクセルマトリックスの形式で保存される 2 次元デジタル画像であり、各要素はピクセルの画像グレー値です。画像平面座標系は画像平面上の画像点の位置座標を記述するために使用され、ピクセル座標系はピクセルマトリックス内の点の位置を記述します。図 1 に示すように、ピクセル座標系はイメージプレーン上に確立され、座標原点は $ああ$ イメージプレーンの左上隅に確立され、 $あなた$ 軸はグラフィックスプレーン座標系の軸と平行であり $バツ$ 、 $v$ 軸はグラフィックス平面座標系の軸に平行です $y$ 。したがって、座標は、 $(う、う)$ ピクセルマトリクス内のピクセルの行と列をそれぞれ表します。

2. 座標系間の変換関係

$P$ 空間内の 3 次元点のワールド座標系から $(X_w,Y_w,Z_w,1)^T$ 画像平面上の対応する投影点 $p$ のピクセル座標への変換は $(u,v,1)^T$ 、図 2 に示すように 3 つの変換に分割できます。

2.1 ワールド座標系とカメラ座標系の間の変換

ワールド座標系とカメラ座標系の間の変換は、いずれも 3 次元座標系であり、回転行列と平行移動行列を使用して説明できます。空間内の 3 次元点のカメラ座標が $P$ であると仮定する $(X_c,Y_c,Z_c,1)^T$ と、その点の世界座標とカメラ座標の関係は次のように表すことができます。

$\left [ \begin{行列} X_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1 \end{行列}\right ]=\left [ \begin{行列} R & t \\ 0 & 1 \end{行列} \right ] \left [ \begin{行列} X_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1 \end{行列} \right ]$

このうち、 $R$ は $3\×3$ 回転行列の行列、は平行移動行列の行列 $t$ です。 $3\×1$

2.2 カメラ座標系と画像平面座標系間の変換

カメラ座標系の $X_c$ 軸と軸はそれぞれ $Y_c$ 画像平面座標系の $バツ$ 軸と軸に平行であるため $y$ 、点の $P$ カメラ座標と $(X_c,Y_c,Z_c,1)^T$ 対応する画像投影点 $p$ の画像平面座標の間には比例関係のみが存在します $(x,y,1)^T$ 。そして、この比例関係はカメラの焦点距離 $f$ と $P$ 点の $Z_c$ 座標に関係します。

$P$ 点のカメラ座標と、それに対応する投影点の画像平面座標と $p$ の関係は次のとおりです。

$s\left [ \begin{行列} x\\ y\\ 1 \end{行列} \right ]=\left [ \begin{行列} f & 0 & 0 & 0\\ 0 & f & 0 & 0\ \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{行列} \right ]\left [ \begin{行列} X_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1 \end{行列} \right ]$

その中には、 $s$ 0 ではなくスケール係数があります。

2.3 画面座標系とピクセル座標系の変換

像面座標系の原点は、像面への光軸の投影点であり、ピクセル座標系におけるこの点の座標がであると仮定します $(u_0,v_0)$ 。3 次元点 $P$ に対応する投影点 $p$ の画像平面座標とそのピクセル座標の関係は次のとおりです。

$\left [ \begin{行列} u\\ v\\ 1 \end{行列} \right ]=\left [ \begin{行列} \frac{1}{dX} & 0 &u_0 \\ 0 & \frac{ 1}{dY} &v_0 \\ 0& 0 &1 \end{行列} \right ]\left [ \begin{行列} x\\ y\\ 1 \end{行列} \right ]$

ここで、は $dX$ 像面座標系の軸 $バツ$ 方向における画素の物理的なサイズであり、は $日$ 像面座標系の軸方向における画素 $y$ の物理的なサイズである。