⚠警告：この問題は非常に退屈であり、専門家ではない人はすぐに去ります。
「バイジェクティブ」は実際にはより素朴な数学用語です。リレーショナル代数では「1対1マッピング」と呼んでいるためです。関係代数は、セット間の「マッピング関係」を研究する数学の一分野です。次に、セットの概念を他の分野に抽象化して、さまざまなサブディビジョン理論を生成します。前の記事「VLQオフセット自然数」も「バイジェクション」に焦点を当てました。テーマ、つまりコードと自然数の間の1対1のマッピングが展開します。
実際、高校の数学の「順列と組み合わせ」では、実際の問題を解決するためにさまざまな「ダブルショット」のアイデアが導入されています。たとえば、エリミネーションゲーム用に2チームずつ100チームがあり、最終的にチャンピオンシップチームが作られます。ゲームはいくつプレイされますか？マッチする（ネクタイなし）？
従来の考え方によれば、次のように分析する必要があります。
最初のラウンドでは50ゲームが行われ、50チームが残ります。
第2ラウンドでは25ゲームが行われ、25チームが残ります。
第3ラウンドでは12ゲームが行われ、13チームが残ります。
第4ラウンドでは6試合が行われ、残りのチームは7チームになります。
第5ラウンドでは3ゲームが行われ、残りのチームは4チームになります。
第6ラウンドでは2つのゲームが行われ、2つのチームが残ります。
第7ラウンドは決勝戦であり、チャンピオンチームを生み出します。
したがって、合計50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 2 + 1 = 99ゲームがプレイされました。
「99」という答えを見れば、もっとシンプルなアルゴリズムが必要だと気付くでしょう。。考え方を変えて分析してみましょう。ゲームをプレイするたびに、チームを排除する必要があります。[ゲーム]と[チームを排除]は1対1で対応し、99のチームを排除して99のゲームしかプレイしない場合は、このアルゴリズムは、前の「直感的な反復」よりもはるかに簡単な答えを即座に取得します。この質問は、「空のボトルの交換の問題」に似ています。2つの空のボトルを1つのボトルの水と交換でき、購入できる水量を尋ねます次に、問題解決のアイデアは、問題を解決しようとしないように、問題を1つずつ変換することです。
順列式
別の質問を見てみましょう。7冊の本を、Aの場合は2、Bの場合は1、Cの場合は4に分けます。
次に、別の問題解決の習慣を示します。分割して征服する、つまり、大きな問題を個別に検討できるさまざまな段階に分割します。この問題では、最初にBとC全体を検討できます。問題は次のようになります。7冊が2冊に分割され、他に5つの方法はいくつありますか？このようにして、順序付けられていない組み合わせ番号の式を直接呼び出すことができます：C（7,2）= 21種類。
組み合わせの数の式は、n個の異なる要素からm（m≤n）個の要素をランダムに取り、無秩序なグループを形成することによる、組み合わせの総数を指します。
組み合わせ式：
上記の21の分類方法では、残りの5冊がBとCにどのように割り当てられても、すでにAに割り当てられている本には影響しないため、これらの21の状況は対称的です。次に、分割統治の副問題は次のようになります。5つの異なる本をBについて1つ、Cについて4つに分割し、合計でC（5,1）= 5とします。問題を再度組み合わせて、7冊の本をA、B、C、2、1、4に分け、合計でC（7,2）* C（5,1）= 21 * 5 = 105分割します。
上記では、順列と組み合わせの数式、分割統治、1対1のマッピングスキルを紹介しましたが、これらの方法の次の統合は、より困難な問題に挑戦します。
数理モデリング
市内には南北7通り、東西5通りの合計4 * 6 = 24ブロックがあります。街の南西の隅から北東の隅まで徒歩で行きたい場合、最短の歩道はどれですか。
ブロック：4つの通りに囲まれたエリア。
この問題を解決するには多くの方法がありますが、1対1のマッピングのアイデアをモデルに使用するのが最も簡単です。最初に、問題を上記の座標系に変換します。点Oから点Aまでの最短経路はいくつありますか？これは順列と組み合わせの問題であり、歩くブロックはすべて1ステップかかると仮定します。右に行くとxと記録され、上がるとyと記録されます。
どのように行っても、常にx軸の方向に6ステップ、y軸の方向に4ステップ、合計10ステップ歩く必要がありますが、xとyの順序は、xxxyyyyxxx、各組み合わせ、最短パス1など、任意にすることができます。マッピングの場合、長さ10の配列を設定します。配列の4つの位置はxに設定され、残りはyです。合計数はC（10,4）= 210種類です。
「1対1対応」の問題解決のアイデアの鍵は、問題解決の問題を簡単に達成するために、どのような「対応」関係を確立するかであり、これは技術的な問題です。
高校の数学の先生から私に残された最も深い文章は、次のとおりです。数学は、学ぶほど単純になるはずです。この文は本当になんてこった。
厳密に増加するシーケンス
この号では、合計4つの初等順列と組み合わせの問題を共有し、難しさを増していきます。次は、前に学習したすべてのスキルを使用して最後の問題に挑戦します。
1、2、3、...、nのn要素のシーケンスでは、C（n、r）のさまざまな組み合わせから任意のr要素[繰り返しなし、r≤n]を選択できることを知っています。上記の組み合わせ数式です。たとえば、繰り返し選択が許可されている場合、すべて1を選択します[rはnより大きい可能性があります]、組み合わせはいくつありますか？
解決：
順列の数とは異なり、組み合わせの数には順序がありません（順序は無意味です）。つまり、それらを強制的にソートできます。X1≤X2≤...≤Xrという一連の例を取り上げます。これは、増加する数のセットです。
次に、増加するシーケンスを厳密に増加するシーケンスにマップします。これは、すべての「≤」を「<」に変更する方法を見つけることです。どうして？厳密に増加するシリーズは、組み合わせ数の式を直接適用できるためです。
次の図に示すように、X1からXrにそれぞれ0、1、2、...、r-1を追加し、Y1 <Y2 <... <Yrを取得します。
Xの増加シーケンスをYの厳密に増加するシーケンスに1つずつマッピングすることに成功しました。これで、シーケンスYの数がカウントされる限り、シーケンスXの数はカウントされます。明らかに[すべての悪が明らかに確立されています]すべてのYは繰り返されず、Yr≤n + r-1です。このときの状況は、rを1、2、3、...、n + r-1から選択するのと同じです。繰り返されない要素（各要素は一度しか選択できません）、想像できるように、答えはC（n + r-1、r）です。
小学校から大学まで、初等数学から上級数学まで、テスト結果は常に二極化されています基本的な理由は、ほとんどすべての問題への近道があるためです。試験問題の解答を観察すると、解答は常に形式が非常に単純で、短い式と数字が使用されていることがわかります。教師は、複雑な結果の質問は好きではありません。質問が複雑であっても、「解決策」は常に簡潔です。
したがって、一種の逆の考え方があります。既知の結果の形式は非常に単純であるため、単純なアルゴリズムが必要です。また、「1対1マッピング」は、そのような数学的ショートカットの1つです。元の問題をより単純なモデルにマッピングします。そして、この種のマッピングは常に見つかります。「冒険」を敢行し、時間との戦いでこの種のマッピングを探すことに時間を費やす学生は、学問の達人になっています。これが、数学のテストが偏っている理由です。
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