最近、組合せ論の期末試験の準備をしていて、群の章を見直したところ、理解が不十分だったので、群に関する問題の解き方を記録しておきます。
グループの定義をいちいち紹介するのではなく、話題を直接カットします。
目次
(1) 正三角形の3つの頂点を赤、青、緑で色分けする場合、何通りあるでしょうか?
(2) 4 つのビーズのネックレスに 3 つの異なる色のビーズが通されていますが、オプションは何ですか?
順列乗算
既知のグループ P1 と P2、P1P2 と P2P1 を見つけて、最初にコースウェアを受講します。
これを見てブロガーさんは戸惑いましたが、情報を調べてハッと気づきました。
【順列と掛け算の問題を解くための考え方】
まず、2 つのグループ P1 と P2 の最初の行は初期シーケンスとして理解でき、2 行目は並べ替えられたシーケンスです。
そして、P1P2 は、最初に P1 を置き換え、次に P1 に基づいて P2 を置き換えます。P2P1 はその逆です。絵を描くと、より鮮明に理解できるようになります。
わかりやすいのでP2P1をやってみましょう～
ポーリャの定理の 2 つの応用
ポリア定理を理解するために 2 つの質問に答えてください。
(1) 正三角形の3つの頂点を赤、青、緑で色分けする場合、何通りあるでしょうか?
または、最初にコースウェアの回答を確認してください
【問題解決のアイデア】
質問を読むと、これはn=3 (頂点が 3 つ)、m=3 (色が 3 つ)の場合であることがわかります。正三角形の同時移動の状況は、0°、60°（コースウェアでは240°ですが、60°と240°は同じ意味だと思います）、120°、3つの頂点の中線を反転する（つまり、3 つのケース）、合計 6 つのケースがあります。
次の 6 つの状況が詳細に分析されます。
①0°、各頂点は異なり、置き換えることができないので、(v1)(v2)(v3)となります。
②60°、各頂点の位置が右側の頂点の位置となり、3点を入れ替えると、v1がv3、v3がv2となり、順列関係で(v1v3v2)となります。コースウェア「状況は(v3v2v1)です」
③120°、各頂点の位置が左の頂点の位置となり、3点を入れ替えると、v1はv2、v2はv3となり、順列関係では(v1v2v3)となります。
④ v1 の正中線に沿って裏返すと、v1 は動かず、v2 と v3 が入れ替わるので、(v1) (v2v3) の 2 つの入れ換え関係ができます。
⑤v2の中線に沿って反転すると、v2は動かず、v1とv3が入れ替わるので、(v2)(v1v3)の2つの入れ替え関係ができます。
⑥v3の中線に沿って反転すると、v3は動かず、v1と2が入れ替わるので、(v3)(v1v2)の2つの入れ替え関係ができます。
上記の 6 つの状況について説明した後、解の数を計算し始めます。
先ほどの係数が 6 分の 1 なのは、ケースが 6 つあるためで、これは少し加重平均されています。それぞれの場合の具体的な計算は角括弧内にあります。数えられる色は3色なので、3を基準にべき乗演算を行います。0°に括弧が3つあるので（置換関係が3つあると理解できます）、3の3乗になります。60°も120°も括弧の中に入っているので3が2つ、④、⑤、⑥の場合は括弧が2つあるので3の2乗になります。
(2) 4 つのビーズのネックレスに 3 つの異なる色のビーズが通されていますが、オプションは何ですか?
または、最初にコースウェアの回答を確認してください
しかし、ブロガーは、この ppt には記述上の問題があると感じています。インターネットで調べた情報によると、ブロガーに従って説明することはしません。私の手書きの回答を直接投稿します~~~
【問題解決のアイデア】
開花終了*★,°*:.☆(￣▽￣)/$:*.°★* 学べば～～