目次
第三に、良いアルゴリズムとはどのようなアルゴリズムでしょうか?
1. ミニマリスト数学の歴史
1. 芽生え期
紀元前6世紀
古代エジプトや古代バビロンの数学を含む数学の起源段階です。数学は主に計数、測定、幾何学を扱います。
2. 古典数学の時代
紀元前6世紀～紀元16世紀
古代ギリシャの数学は頂点に達しました。ピタゴラス、ユークリッド、アルキメデスなどの数学者は、幾何学、数論、力学などの分野に重要な貢献をしました。
3. 近世
西暦17世紀から18世紀にかけて、
微積分の確立と解析の発展。ニュートン、ライプニッツなどの数学者は、微積分、数論、代数方程式などの分野で重要な貢献をしました。
4. 近世後期
19世紀、ヨーロッパの老人たちがこう言いました。
無限小の厳密性や極限概念の確立など重要な進歩。この時期、コーシー、リーマン、ポアンカレ、ゲーデルなどヨーロッパの数学者が数学の発展を推進しました。
5. 現代数学
20 世紀から現在まで、科学技術コンピューティングとインテリジェント革命:
現代数学には、応用数学、数学的分析、抽象代数、トポロジー、幾何学、確率論、統計などの多くの下位分野が含まれています。
第二に、計算方法論とは何ですか?
1. 数値代数
a. 線形代数方程式の解き方（等価変換）
等価変換により、連立方程式を行列形式、つまり PAx = Pb に変換できます。ここで、P は列交換行列、A は係数行列、x は未知のベクトル、b は定数ベクトルです。線形方程式を解くには、ガウス消去法、LU 分解、反復法 (ヤコビ法、ガウス・ザイデル反復など) などの数値手法を使用できます。
b. 行列固有値固有ベクトル（同様の変換）
固有値は行列のスケーリング係数を表し、固有ベクトルは対応する方向を表します。相似変換を通じて、行列を対角要素が固有値、対応する列ベクトルが固有ベクトルである対角形式に変換できます。固有値と固有ベクトルは、数値手法、データ分析、物理学などの多くの分野で重要な用途があります。
c. 二次関数（契約換算）
二次形式は、二次項で構成される多項式関数です。数値代数では、最適化問題や行列分解のために二次形式の特性と変化を研究することが重要です。契約変換を通じて、二次形式を正準形式に変換できるため、問題の解決と分析がより便利になります。
2. 数値近似
関数の表し方、数値積分、数値微分
数値近似とは、数値的手法とコンピューター技術による複雑な数学的問題の近似解を指します。実際のアプリケーションでは、多くの数学的問題は解析手法では正確に解決できないため、数値近似手法を使用して解を近似したり、数値結果を計算したりする必要があります。
a. 補間
近似関数がこれらのデータ ポイントを通過し、これらのポイント間の関数値が不明であるように、データ ポイントでの既知の関数値によって近似関数を構築します。一般的な補間方法には、ラグランジュ補間とニュートン補間が含まれます。
b. カーブフィッティング
既知のデータ ポイントを通じてデータの傾向を当てはめる関数を当てはめます。カーブ フィッティングの目的は、既知のデータ ポイントからの誤差を最小限に抑える単純な関数を見つけることです。一般的な曲線フィッティング方法には、最小二乗法と多項式フィッティングが含まれます。
c. 数値積分
指定された区間にわたる関数の積分を数値的に計算します。数値積分法は、連続関数の積分問題を、台形則、シンプソン則、ロンベルグ積分などの離散数値計算問題に変換できます。
d. 数値微分
数値的手法を使用して関数の導関数または微分を計算します。数値微分法では、前方差分、後方差分、中心差分などの離散点での関数の差分を計算することで微分値を推定できます。
e. 反復法
反復アプローチは、特定の収束条件が満たされるまで問題の解決に徐々に近づくために使用されます。反復法は、非線形方程式、線形方程式、最適化問題を解く際に広く使用されています。
f. 常微分方程式の近似解
オイラー法、ルンゲ・クッタ法などの数値的手法を使用して常微分方程式を近似的に解きます。
数値近似法の選択は、特定の問題の特性と要件によって異なります。これらの手法を適切に選択・組み合わせることにより、実際のアプリケーションにおいて精度と効率の要件を満たす数値結果を得ることができます。
3. 数値最適化
最小 f(x)
ニューラル ネットワークのトレーニング - Alchemy
数値最適化は、数値的手法を通じて関数の最適解を見つける手法です。実際の問題では、関数の最小値または最大値を見つける必要があることがよくあります。数値最適化は、これらの問題を解決するための一連のアルゴリズムとテクニックを提供します。数値最適化は、機械学習、データ分析、工学設計など、さまざまな分野で幅広い用途があります。
一般的に使用される数値最適化アルゴリズムと手法は次のとおりです。
a. 最適化問題のモデル化
実際の最適化問題を数学的定式化に変換し、目的関数と制約を定義します。目的関数は最小化または最大化される関数であり、制約は等式制約または不等式制約です。
b. 勾配降下法:
勾配降下法は、関数の勾配の反対方向に沿って解ベクトルを更新することで最適解に徐々に近づく反復最適化アルゴリズムです。この方法は、凸関数および微分可能関数の最適化問題に特に適しています。
勾配降下～凸関数～グローバル（または極小値にトラップ）
c. ニュートン法と準ニュートン法
ニュートン法は、方程式系を解いて極小点を求める二次微分情報に基づく最適化手法です。準ニュートン法は、二次微分行列を計算する必要がなく、過去の反復点の情報を使用して二次情報を近似する近似ニュートン法です。
d. 進化的アルゴリズム
進化的アルゴリズムとは、遺伝的アルゴリズム、粒子群最適化アルゴリズム、アリコロニーアルゴリズムなど、生物学的進化の原理に基づいた最適化手法の一種です。これらの手法は、自然界の進化過程をシミュレートすることによって、解空間内で最適解を段階的に探索します。
e. 制約付きの最適化
制約付き最適化問題では、与えられた制約の下で最適解を見つける必要があります。一般的に使用される制約付き最適化手法には、ペナルティ関数法、ラグランジュ乗数法、KKT 条件などが含まれます。
f. 全体的な最適化
大域的最適化問題では、局所的な最適解だけでなく、関数の大域的な最適解を見つける必要があります。グローバル最適化手法には、遺伝的アルゴリズム、シミュレーテッド アニーリング アルゴリズム、粒子群最適化が含まれます。
4. 数値解法
a. 常微分方程式 (ODE)
- オイラー法: この方法では、離散ステップを使用して ODE の解を近似します。
- ルンゲ・クッタ法: これは、4 次以降のバージョンを含む高次の数値法です。
- ルンゲ・クッタ法 (RK4): これは古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法であり、解を段階的に近似することで高い精度を実現します。
- マルチステップ法: Adams-Bashforth 法や Adams-Moulton 法などの方法では、複数の履歴データ ポイントを使用して解を近似します。
b. 偏微分方程式 (PDE)
- 有限差分法: これは、偏微分方程式をグリッドに離散化し、近似差分の形式で解を計算する、一般的で単純な数値手法です。
- 有限要素法: これは、PDE を小さなサブドメインに離散化し、基底関数を使用して解を近似する、より高度な数値法です。
- 有限体積法: これは流体力学と熱伝達で一般的に使用される数値法であり、偏微分方程式を制御体積に離散化し、流束を計算します。
第三に、良いアルゴリズムとはどのようなアルゴリズムでしょうか?
"できる"
実際の問題を解決できるということは、正しい結果を出せるということです。
"許可する"
アルゴリズムの結果は精度が高く、問題の要件や期待を満たすことができます。
現在のニューラルネットワークは高い正解率を持っていますが、まだ判断が必要です
"素早い"
アルゴリズムの実行速度は速く、妥当な時間枠で結果を得ることができます。
通常、これら 3 つの特性は相互に制約し合うため、同時に最良の状態を達成することは困難です。実際のアプリケーションでは、これら 3 つの機能を比較検討し、特定のニーズやシナリオに応じて最適なアルゴリズムを選択する必要があります。場合によっては、「準」と「高速」のどちらかを選択する必要がある場合があります。