Este artículo resume algunas teorías útiles de otros lugares. El texto completo se puede encontrar en el artículo de referencia al final.
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Sabemos que la multiplicación de matrices corresponde a una transformación, que convierte cualquier vector en otro nuevo vector con direcciones o longitudes en su mayoría diferentes. Durante este proceso de transformación, el vector original sufre principalmente cambios de rotación, expansión y contracción. Si la matriz solo sufre una transformación de escala en un determinado vector o algunos vectores, y no produce un efecto de rotación en estos vectores, entonces estos vectores se denominan vectores propios de la matriz y la relación de escala es el valor propio.
De hecho, el párrafo anterior habla tanto del significado geométrico (transformación gráfica) de los valores propios y vectores propios de la transformación matricial como de su significado físico. El significado físico es la imagen del movimiento: el vector propio se expande y se contrae bajo la acción de una matriz, y la amplitud de expansión y contracción está determinada por el valor propio. Si el valor propio es mayor que 1, los vectores propios que pertenecen a este valor propio crecerán repentinamente en forma; si el valor propio es mayor que 0 y menor que 1, los vectores propios se reducirán drásticamente; si el valor propio es menor que 0, los vectores propios se reducirán más allá del límite e invertir la dirección hasta el punto 0. Fue al borde.
Con respecto a los valores propios y los vectores propios, tenga en cuenta dos aspectos destacados aquí. Uno de estos dos aspectos destacados es el significado de las invariantes lineales y el otro es el significado espectral de la vibración.
——"El significado geométrico del álgebra lineal"
Si hay cierto vector o vectores que después de la acción de A, solo se estira o acorta, y su posición aún permanece en su línea recta original, entonces se llama vector propio de A, y el múltiplo del estiramiento o acortamiento es llamado El valor propio del vector propio correspondiente. La fórmula se expresa como:
A v ‾ = λ v ‾ , ∣ A − λ I ∣ = 0 (1) A\overline v=λ\overline v ,\quad|A−λI|=0 \tag{1}Av=yov，∣ A − λ I ∣=0( 1 )
NNN vectores de características sonNNN bases ortonormales estándar, y el módulo del valor propio representa la longitud de proyección de la matriz en cada base.
Al buscar información relevante, el Sr. Zhihu Ma dio una explicación muy detallada: ¡aquí hay un resumen! Los valores propios y los vectores propios se denominan espacio propio. Si multiplica una matriz repetidamente, el vector se ajustará más estrechamente al vector propio correspondiente al valor máximo. Citando una imagen del Zhihu del Sr. Ma.
[ xx + 1 yx + 1 ] = A [ xxyx ] \begin{bmatrix} x_{x+1} \\ y_{x+1}\\ \end{bmatrix} =A \begin{bmatrix} x_{x} \\ y_{x}\\ \end{bmatriz}[Xx + 1yx + 1]=A[Xxyx] ¡
Este vector estará en la dirección del espacio propio con el valor propio más grande! ¡Una propiedad muy importante! Alguien subió el vídeo aYouKu.
Si A es la matriz de covarianza de la muestra, el valor propio λ \lambdaEl tamaño de λ refleja la amplitud de la transformación en la dirección del vector de características después de la transformación. Cuanto mayor es la amplitud, mayor es la diferencia entre los elementos en esta dirección, es decir, los elementos en esta dirección están más dispersos.
En cuanto a la descomposición matricial, se trata de obtener los valores propios y los vectores propios, para la matriz AA .Si A se puede diagonalizar, se puede realizar la siguiente descomposición de valores propios a través de la matriz de similitud:
A = P ∧ P − 1 A = P\wedge P^{-1}A=PAG∧PAG− 1donde∧
\cuña∧ es una matriz diagonal,PPLos vectores columna de P son vectores propios unificados. El valor propio es la proporción del tramo y el vector propio determina la dirección del tramo.
Los vectores propios son ortogonales, de modo que después de la transformación, se puede garantizar que la dirección de transformación máxima sea en la dirección base. Si los vectores propios no son ortogonales, es posible que no estén en la dirección de mayor cambio.
El valor propio de la matriz es una medida del grado de expansión y contracción del vector propio. El número real es solo expansión y contracción, el número imaginario es solo rotación y el número complejo es expansión y rotación. De hecho, lo más importante es el vector propio. De su definición se puede ver que el vector propio es un vector que sólo sufre una transformación de "regla" bajo transformación matricial. Esta "regla" es el valor propio.
1）AAAwaATA ^{T}AT tiene los mismos valores propios, pero los vectores propios no son necesariamente los mismos.Demuestre
:∣ λ E − AT ∣ = ∣ λ ET − AT ∣ = ∣ ( λ E − A ) T ∣ = ∣ λ E − A ∣ = 0 | \lambda EA^{T}| = |\lambda E^{T}-A^{T}|=|(\lambda E - A)^{T}|=|\lambda EA|=0∣ λ mi−AT ∣=∣ λ mit−AT ∣=∣ ( λ mi−Un )T ∣=∣ λ mi−Un ∣=0
2）若∑ ∣ aij < 1 , j = 1 , 2 , . . . , n ∣ \sum|a_{ij}<1,j=1,2,...,n| \patio∑∣ unyo j<1 ,j=1 ,2 ,. . . ,norte ∣且∑ ∣ aij ∣ < 1 , j = 1 , 2 , . . . , n , ∑∣a_{ij}∣<1,j=1,2,...,n,∑∣ayo j∣<1 ,j=1 ,2 ,. . . ,n ,则∣ λ k ∣ < 1 |\lambda_{k}| < 1∣λ _k∣<1
3) Si los n valores propios de la matriz cuadrada sonλ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}yo1,yo2,. . . ,yonorte、 Tiene①∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 naii \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} =\sum_{i=1}^{n}a_{ii}∑yo = 1norteyoyo=∑yo = 1norteayo yo, es decir, la suma de todos los valores propios es la suma de los elementos diagonales de la matriz; ② λ 1 , λ 2 , . . . , λ n = ∣ A ∣ \lambda_{1},\lambda_{2} ,. ..,\lambda_{n}=|A|yo1,yo2,. . . ,yonorte=∣ A ∣
4) Valores propios mutuamente diferentesλ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}yo1,yo2,. . . ,yonorteVectores de características correspondientes α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}a1,a2,. . . ,anorteLinealmente independientes
5) complementos 4). Si cada vector propio tiene múltiples pares de valores propios, entonces estos vectores propios también son linealmente independientes
6) kkk -veces raíces propias, el número de vectores propios linealmente independientes correspondientes es menor o igual quekkk
Otras propiedades:
1) k λ k\lambdak λ esk A kAk Valor propio de A2
)λ 2 \lambda^{2}yo2 esA 2 A^{2}AValor propio de 2 , λ k \lambda^{k}yok esA k A^{k}AValor propio de k3
)1 λ \frac{1}{\lambda}yo1A − 1 A ^{-1}A− Valor propio de 1 ; 1 λ ∣ A ∣ \frac{1}{\lambda}|A|yo1∣ A ∣Esto esA ∗ A^∗Avalores propios de ∗
Artículos de referencia:
1. Valores propios y vectores propios
2. Valor propio (valor propio) Vector propio (vector propio) Descomposición de valores propios (descomposición de valores propios)
3. ¿Cómo entender los valores propios de las matrices?
4. [Álgebra lineal (13)] El significado y las propiedades de los valores propios y vectores propios de matrices