Tabla de contenido
1. Los valores propios y vectores propios de una matriz general
2. Problema de vector propio generalizado
3. El valor propio más grande de una matriz dispersa
1. Los valores propios y vectores propios de una matriz general
A es una matriz de orden n. Si el número y el vector x satisfacen
, entonces el número se llama valor propio
de A , y x se llama vector propio de A correspondiente al valor propio . Si la fórmula se reescribe como , entonces se llama polinomio característico de A.
En MATLAB, los valores propios y vectores propios se resuelven en el siguiente formato:
[V,D]=eig(A)Observaciones: Esta función también puede solicitar solo una cantidad
Ejemplo 1
Utilice dos métodos para encontrar los valores propios y los vectores propios de la matriz A y verifique su error de norma correspondiente.
desatar:
El código MATLAB es el siguiente:
clc;clear;
A=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1];
%直接求解
[v,d]=eig(A)
norm1=norm(A*v-v*d)
%解析解
[v,d]=eig(sym(A))
norm2=norm(double(A*v(:,2)-34*v(:,2))) %double函数转换为双精度类型resultado de la operación:
v =
-0,5000 -0,8236 0,3764 -0,2236
-0,5000 0,4236 0,0236 -0,6708 -0,5000 0,0236 0,4236
0,6708
-0,5000 0,3764 -0,8236 0,2236
re =
34,0000 0 0
0 0 8,9443 0
0 0 0 -8,9443 0
0 0 0 -0,0000
norma1 =1.2284e-14
v =
[ -1, 1, (12*5^(1/2))/31 - 41/31, - (12*5^(1/2))/31 - 41/31] [ -3,
1 , 17/31 - (8*5^(1/2))/31, (8*5^(1/2))/31 + 17/31] [ 3, 1, - (4*5^(
1 /2))/31 - 7/31, (4*5^(1/2))/31 - 7/31]
[ 1, 1, 1, 1]
d =
[ 0, 0, 0, 0]
[ 0, 34, 0, 0]
[ 0, 0, -4*5^(1/2), 0]
[ 0, 0, 0, 4*5^(1/2)]
norma2 =0
2. Problema de vector propio generalizado
La expresión del vector propio generalizado es la siguiente:
Si B = I en la fórmula anterior, entonces es un problema de valores propios de una matriz ordinaria. El formato MATLAB para resolver valores propios y vectores propios generalizados es el siguiente:
[V,D]=eig(A,B)Desafortunadamente, la función eig() en la Caja de herramientas de operaciones simbólicas no admite operaciones de correlación en valores propios generalizados.
Ejemplo 2
Encuentre las matrices de valores propios y vectores propios generalizados de A y B.
，
desatar:
El código MATLAB es el siguiente:
clc;clear;
A=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];
B=[2 6 -1 -2;5 -1 2 3;-3 -4 1 10;5 -2 -3 8];
[V,D]=eig(A,B)
norm(A*V-B*V*D)resultado de la operación:
V =
0,3697 + 0,0000i -0,3741 + 0,6259i -0,3741 - 0,6259i 1,0000 + 0,0000i
0,9948 + 0,0000i -0,0674 - 0,2531i -0,0674 + 0,2531i -0,6090 + 0 .0000i 0.7979 + 0.0000i 0.9239 + 0.0264i
0.9239 - 0.0264i - 0,2316 + 0,0000i
1,0000 + 0,0000i -0,6599 - 0,3263i -0,6599 + 0,3263i 0,1319 + 0,0000i
re =
4,7564 + 0,0000i 0,0000 + 0,0000i 0,0000 + 0,0000i 0,0000 + 0,0000i 0,0000 + 0,0000i
0,0471 + 0,1750i 0,0000 + 0,0000i 0,0000 + 0 .0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0471 - 0.1750i 0.0000 + 0.0000i 0.0000
+ 0,0000i 0,0000 + 0,0000i 0,0000 + 0,0000i -0,0037 + 0,0000i
respuesta =
3.3761e-14
3. El valor propio más grande de una matriz dispersa
Calcule el valor propio más grande del módulo k de la matriz dispersa, el formato MATLAB es el siguiente:
d=eigs(A,k)Calcule simultáneamente el valor propio y el vector propio más grandes. El formato de MATLAB es el siguiente:
[V,D]=eigs()Ejemplo 3
Utilice las funciones delsq y nuggrid para generar una matriz dispersa, encuentre los valores propios máximos de seis módulos de la matriz dispersa y analice el error de este método.
desatar:
El código MATLAB es el siguiente:
clc;clear;
A=delsq(numgrid('C',15));
%生成稀疏矩阵，这个稀疏矩阵有点复杂，感兴趣的小伙伴可自行查找下 delsq和numgrid函数
[v,d]=eigs(A,6) %6代表6个模
norm=norm(A*v-v*d)
resultado de la operación:
re =
7,8666 0 0 0 0 0
0 7,7324 0
0 0 0 0
0 7,6531 0 0 0 0 0 0 7,5213 0 0
0 0 0 0 7,4480 0
0 0 0 0 0 7,3517
norma =
El resultado del vector propio 1.4182e-14
es más largo; aquí solo se muestra una parte.
