LDLT; matriz definida real simétrica (semi) positiva; subforma principal secuencial; expansión de Taylor

Introducción al método de descomposición LDLT

Si A es una matriz simétrica y cualquiera de sus subformas principales de orden k no es cero, entonces A tiene la siguiente forma de descomposición única: A=LDL ^ T.
Entre ellos, L es una matriz unitaria triangular (es decir, los elementos de la diagonal principal son todos 1), D es una matriz diagonal (solo los elementos están en la diagonal principal y el resto son cero) y L^T es la transpuesta matriz de L .
El método de descomposición de LDLT es en realidad una mejora del método de descomposición de Cholesky, porque aunque el método de descomposición de Cholesky no requiere la selección de pivotes, el problema de la raíz cuadrada está involucrado en el proceso de operación, y el método de descomposición de LDLT evita este problema y puede ser Se utiliza para resolver ecuaciones lineales.
Suponiendo un sistema de ecuaciones lineales Ax=b,
aplique el método de descomposición LDL^T: A=LU=LDL ^T, es decir, LDL ^Tx=b,
sea DL^Tx=y, es decir, Ly=b,
luego resuelva el sistema de ecuaciones lineales Ax=b De hecho, se descompone en dos pasos:
1. Obtener y de Ly=b;
2. Obtener x de DL^Tx=y (o L ^Tx=D ^ (-1)y.

Matrices definidas simétricas reales (semi) positivas

Sea A una matriz simétrica real, si para cada vector real X distinto de cero, hay X'AX>0, entonces A se denomina matriz definida positiva y X'AX se denomina forma cuadrática definida positiva.
Supongamos que A es una matriz simétrica real, si para cada vector real X distinto de cero, hay X'AX≥0, entonces A se denomina matriz semidefinida positiva y X'AX se denomina forma cuadrática semidefinida positiva. .
Para la matriz A simétrica real de orden n, las siguientes condiciones son equivalentes:
(1) A es una matriz definida positiva;
(2) todas las subformas principales de orden de A son positivas;
(3) todas las subformas principales de A son positivas;
( 4 ) Los valores propios de A son todos positivos;
(5) Existe una matriz real invertible C, de modo que A=C′C;
(6) Existe una matriz real B de m×n con rango n, de modo que A =B′B;
(7) Existe una matriz triangular real R cuyos elementos de la diagonal principal son todos positivos, de modo que A=R′R

La subforma principal de secuencia es convertir algunos elementos de la matriz cuadrada de orden n en forma determinante.
El determinante de k-ésimo orden de una matriz cuadrada se compone de las primeras k filas y k columnas de la matriz cuadrada.
Para una matriz cuadrada A de orden n, tiene subformularios principales de orden n. Al calcular todas las subformas principales secuenciales de la matriz cuadrada A, se puede juzgar si una forma cuadrática real es definida positiva o si la matriz cuadrada A es una matriz definida positiva, y si la matriz cuadrada A puede descomponerse de forma única mediante LU.

La fórmula comúnmente utilizada para la expansión de Taylor de f(x) en x=a es f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+f''(a)/2. (xa)^2+...+f(n)(a)/n! *(xa)^n.