Hay muchas definiciones de ángulos de Euler en Internet. Puede averiguarlo si las busca, pero estos conceptos y definiciones parecen entender, pero para algunos principiantes, puede haber algunos lugares que son difíciles de entender. Este artículo le dará algunas ideas y tratará de describir esto Si hay algún error, corríjame.
Este artículo se centra en la descripción de conceptos y no implica cálculos específicos.
Primero veamos un problema. Un punto p en el espacio gira alrededor de un eje en un ángulo de ω con respecto al punto p '. Encuentre las coordenadas y la matriz de rotación de p'. Este es el problema que se resolverá con
los ángulos de Euler . Sin embargo, el método del ángulo de Euler "Un eje gira 1 ángulo" se descompone en "gira continuamente 3 ángulos alrededor de 3 ejes" (es decir, el problema de conversión entre el ángulo del eje y el ángulo de Euler, los estudiantes interesados pueden estudiar por sí mismos).
Después de la descomposición, aparecen 3 rotaciones Axis, y a medida que se gira la dirección de los tres ejes de rotación, la dirección del eje de rotación (regla de la mano derecha) representa la "dirección", la "orientación" o la "orientación" del cuerpo rígido. Aquí es donde se encuentran estos sustantivos El significado de algunos conceptos de ángulos de Euler.
Permítanme explicar en detalle a continuación. Luego deduciré cómo calcular el ángulo de Euler.
El vector de un punto p en el cuerpo rígido en el sistema de coordenadas fijas xyz es v . El sistema de coordenadas activo X0Y0Z0 en el cuerpo rígido coincide con xyz, y X0Y0Z0 se mueve sincrónicamente con el cuerpo rígido.
Pronación / ángulo de Euler dinámico
Rotación interna / ángulo de Euler dinámico, secuencia de ejes: Z0-X1-Y2; secuencia de ángulos: (γ, α, β).
Rotación 3 veces en sentido antihorario, el sistema de coordenadas activo es oX0Y0Z0-> oX1Y1Z1-> oX2Y2Z2-> oX3Y3Z3.
Después de completar 3 rotaciones, establezca el vector del punto p en oX3Y3Z3 en V3 . Debido a que es una rotación síncrona, V3 = v .
Cabe señalar que el eje de rotación interna es el "eje del sistema de coordenadas activo". O, "coordenada activa" Atado alrededor de su propio eje "
Ahora, lo que se debe calcular es "oX3Y3Z3 vector V3 en oX0Y0Z0 vector V30 ". Es equivalente a calcular:
"P punto después de 3 rotaciones" es "oX0Y0Z0 vector V30 ". Como oX0Y0Z0 coincide con oxyz, también Se trata de calcular el vector V30 del "punto p después de 3 rotaciones" en oxyz .
V3 es el vector en oX3Y3Z3 y el vector en oX0Y0Z0 es V30 . Encontrar V30 según V3 es obviamente una transformación de coordenadas, es decir, transformar el vector V3 en oX3Y3Z3 en el vector V30 en oX0Y0Z0 . Sea la matriz de transformación R, Entonces: V30 = R * V3 solo requiere la matriz de transformación R, entonces se puede obtener V30 .
Por supuesto, es muy molesto para encontrar R directamente, por lo que es necesario encontrar R a través de métodos indirectos. El cálculo se divide principalmente en 3 pasos.
1. En primer lugar encontrar el vector V32 de V3 en oX2Y2Z2, es decir , transformar el vector V3 en oX3Y3Z3 a V32 en oX2Y2Z2 .Equivalente al sistema de coordenadas oX3Y3Z3 alrededor del eje de rotación oY3 rotación en sentido horario β a la posición oX2Y2Z2 (o rotación en sentido antihorario -β a la posición oX2Y2Z2). Establezca la matriz de transformación en R32, hay: V32 = R (Y3, -β) * V3
2. Encuentre el vector V31 de V32 en oX1Y1Z1, que es , transformar el vector V32 en oX2Y2Z2 a oX1Y1Z1. Es equivalente al sistema oX3Y3Z3 de coordenadas de la posición oX2Y2Z2 y el eje de rotación OX2 las agujas del reloj rotación α a la posición oX1Y1Z1 (o en sentido contrario de rotación -α oX1Y1Z1). Supongamos que la matriz de transformación es R31, hay: V31 = R (X2, -α) * V32
3. Encuentre el vector V30 de V31 en oX0Y0Z, es decir , transforme el vector V31 en oX1Y1Z1 en oX0Y0Z0. Es equivalente al sistema de coordenadas oX3Y3Z3 desde la posición oX1Y1Z1 y el eje de rotación oZ1 rotación en sentido horario γ a la posición oX0Y0Z (o rotación en sentido antihorario-γ0Z posición oX0Y0Z0) ... Supongamos que la matriz de transformación es R (Z1, -γ), hay: V30 = R (Z1, -γ) * V31
4.Finalmente obtenido: V30 = R (Z1, -γ) * V31 = R (Z1, -γ) * R (X2, -α) * V32 = R (Z1, -γ) * R (X2, -α ) * R (Y3, -β) * V3 .
5. 设 复合 变换 矩阵 R (γ, α, β) ：V30 = R (γ, α, β) * V3 = R (γ, α, β) * v .
R (γ, α, β) = R (Z1, -γ) * R (X2, -α) * R (Y3, -β)
El resultado final es: el resultado 
final es el mismo que el resultado en la descripción de Wanweipedia. Agregue la descripción del enlace (el último Z1X2Y3 = ... Tenga en cuenta que este Z1X2Y3 representa el orden de la multiplicación de matrices. Este resultado es en realidad un Euler estático Matriz de rotación compuesta de ángulos, su orden de ángulo (γ, α, β), orden de eje es yxz; pero los ángulos de Euler estáticos / dinámicos son equivalentes, por lo que es equivalente al ángulo de Euler dinámico (γ, α, β), orden de eje Z0- X1-Y2).
En cuanto a la matriz de rotación compuesta y la matriz de transformación compuesta,
la matriz de transformación compuesta mencionada anteriormente es para el sistema de coordenadas activo, e involucra la transformación de coordenadas en el sistema de coordenadas activo. El
proceso de rotación anterior también se puede considerar como un punto en el cuerpo rígido de p en el sistema de coordenadas fijas oxyz Las coordenadas se rotan continuamente alrededor de 3 ejes diferentes (3 líneas rectas en oxyz) a la p'coordinate, y la matriz de rotación compuesta es R, entonces:
p '= R * p.
La matriz de rotación compuesta R aquí en realidad tiene una transformación compuesta Matriz R (γ, α, β): R = R (γ, α, β)
Nota: p, p'all representan las coordenadas en el sistema de coordenadas fijas oxyz, que no tiene nada que ver con el sistema de coordenadas activo.
Aunque la "matriz de transformación" se utiliza en el proceso de cálculo, el objetivo final es en realidad encontrar la "matriz de rotación compuesta" para encontrar las coordenadas de p '.
Ángulo de Euler de rotación / reposo externo
Rotación externa / ángulo de Euler estático, orden de eje: yxz; orden de ángulo: (γ, α, β).
3 veces de rotación en sentido antihorario, el sistema de coordenadas activo es oX0Y0Z0-> oX1Y1Z1-> oX2Y2Z2-> oX3Y3Z3.
Note que externo El eje de rotación del giro es el "eje del sistema de coordenadas fijas". En otras palabras, el sistema de coordenadas activo gira alrededor del "eje de coordenadas del sistema de coordenadas fijas" en lugar de girar alrededor de su propio eje de coordenadas.
Este tipo de ángulo de Euler es más fácil de entender, es necesario rotar continuamente el eje de coordenadas zxy (β, α, γ) en el sistema de coordenadas 3D oxyz. No hay explicación.
Debido a que el punto p en el cuerpo rígido siempre gira alrededor del eje de coordenadas del sistema de coordenadas fijo oxyz, no tiene nada que ver con el sistema de coordenadas activo y el proceso de cálculo no involucra al sistema de coordenadas activo.
Establezca el vector v del punto p en el sistema de coordenadas fijas oxyz .
Proceso de cálculo:
1. La primera rotación, el punto p gira γ en sentido antihorario alrededor del eje y, establezca la matriz de rotación básica r (y, γ) y el vector girado v1 : v1 = r (y, γ) v . 2. Para la segunda rotación, el punto p continúa girando en sentido antihorario α alrededor del eje x, establezca la matriz de rotación básica r (x, α) y el vector girado v2 : v2 = r (x , α) v1 . 3. Para la tercera rotación, el punto p continúa girando β en sentido antihorario alrededor del eje z, establezca la matriz de rotación básica r (z, β) y el vector girado v3 : v3 = r (z, β) v2 4 . v3 = r (z, β) v2 = r (z, α) r (x, α) v1 = r (z, β) r (x, α) r (y, γ) v . 5. Deje que el compuesto gire Matriz r (γ, α, β): v3 = r (γ, α, β) v r (γ, α, β) = r (z, β)
r (x, α) r (y, γ)
Resultado final: 
Este resultado es consistente con el resultado de la enciclopedia Wanwei , agregue la descripción del enlace (el último Z1X2Y3 = ... Z1X2Y3 es el orden de la multiplicación de la matriz de rotación básica, el orden de los ejes es en realidad yxz ).
La rotación interna y la rotación externa son equivalentes
El ángulo de Euler de rotación interna y el ángulo de Euler de rotación externa son equivalentes, lo que significa que la "matriz de rotación compuesta es la misma", como resultado del cálculo anterior:
r (γ, α, β) = r (z, β) r (x, α) r (y, γ) = R (γ, α, β) = R (Z1, -γ) R (X2, -α) R (Y3, -β)
Por supuesto, el "ángulo de estos dos ángulos de Euler El orden es el mismo "," el orden de los ejes es opuesto ".