El proceso de derivación detallado del filtro Kalman-Bucy generalizado (general) (exclusivo para toda la red)

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1. Filtro Kalman-Bucy y antecedentes del sistema

El filtro de Kalman-Bucy es esencialmente un filtro para sistemas lineales, que puede filtrar la señal intrínseca del sistema cuando hay ruido blanco gaussiano en el sistema, para obtener una señal de medición relativamente pura que esté relativamente cerca de la señal intrínseca.

Sea la señal de salida del filtro (es decir, la señal de medición ) $Y\left(t\right)$ ,la señal de entrada(es decir,la señal intrínseca, o laseñal útil) es$X\left(t\right)$ . La función del filtro es convertir la cantidad de estado X ( t ) \mathbf{X}(t)en el sistema$X\left(t\right)$ bajo la influencia del ruido, con la ayuda del valor medido$Y\left(t\right)$ estima correctamente la señal intrínseca (útil) en el sistema.

La señal útil en el sistema se puede expresar como
$$\dot{X}\left(t\right)=A\left(t\right)X\left(t\right)+G\left(t\right){norte}_{}\left(t\right),A\in R^{norte\times norte},GRAMO\in R^{norte\times p}\text{\hspace{1em}( 1 )}$$ Entre ellas, la condición inicial es$X\left(t_{}\right)=X^0$，${norte}_{}\left(t\right)$ esruido blanco gaussiano, que es el ruido del sistema durante el funcionamiento, y tiene el siguiente valor esperado y varianza:
$$METRO\left\{{norte}_{}(t)\right\}=0;{\mathbf{R}}_{{\mathbf{N}}_1{\mathbf{N}}_1}(t,\tau )=M\left\{{\mathbf{N}}_1(t){\mathbf{N}}_1^{\mathrm{T}}(t)\right\}={\mathbf{S}}_1(t)\delta (t-\tau )$$其中${\mathbf{S}}_1(t)$为表征噪声信号强度的对称正定矩阵，这意味着${\mathbf{S}}_1^{\mathrm{T}}(t)={\mathbf{S}}_1(t)$。

另外，假设有用信号初值的期望已知：
$${\bar{\mathbf{X}}}^0=M\left\{{\mathbf{X}}^0\right\}=0$$ restricciones:
$$D_{}=METRO\left\{\left(X^0-{\bar{X}}^0\right){\left(X^0-{\bar{X}}^0\right)}^t\right\}=0$$

Luego configure la señal de salida del sistema $Sea\; Y\left(t\right)$ lo mismo que
$$Y\left(t\right)=C\left(t\right)X\left(t\right)+{norte}_{}\left(t\right),C\in R^{l\times n}\text{\hspace{1em}( 2 )}$$ donde${norte}_{}\left(t\right)$ también esruido blanco gaussiano, que es el ruido de medición durante la medición:
$$METRO\left\{{norte}_{}\left(t\right)\right\}=0;R_{{norte}_{}{norte}_{}}(t,t)=METRO\left\{{norte}_{}\left(t\right){norte}_2^{\mathrm{T}}(t)\right\}={\mathbf{S}}_2(t)\delta (t-\tau )$$设滤波器的滤波误差为
$${\mathbf{X}}_{\sigma }(t)=\mathbf{X}(t)-\hat{\mathbf{X}}(t)$$滤波器的设计应当满足如下条件，使得滤波器得到的状态估计量为无偏的，且估计误差的均方差$M\left\{\Vert {\mathbf{X}}_{\sigma }(t){\Vert }^2\right\}$最小。

2. 系统中相关关系整理

(1) 假设有用信号初值${\mathbf{X}}^0$ y ruido del sistema${norte}_{}\left(t\right)$ , ruido de medición${norte}_{}\left(t\right)$ Especifique:
$$METRO\left\{X^0{norte}_{}\right\}=0,METRO\left\{X^0{norte}_{}\right\}=0$$ (2) y supongamos el ruido del sistema${norte}_{}\left(t\right)$ y ruido de medición${norte}_{}(t)$之间具有如下相关关系（注意！通常认为二者不具有相关关系，但此处二者是具有相关关系的！）
$$M\left\{{\mathbf{N}}_1(t){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}={\mathbf{S}}_3(t)\delta (t-\tau )$$其中${\mathbf{S}}_3(t)$为对称正定矩阵，因此${\mathbf{S}}_3^{\mathrm{T}}(t)={\mathbf{S}}_3(t)$。

(3) La ecuación (1) da la expresión de la ecuación diferencial del sistema. Por supuesto, con la ayuda de la idea de matriz de transición de estado, el estado del sistema X ( t ) \mathbf{X}(t) se puede obtener integrando ambos lados de la ecuación (1 )$X\left(t\right)$ en cualquier momento$\forall t\_\ge t_{}$valor:
$$X\left(t\right)=\Phi (t,t_{})X\left(t_{}\right)+{\int }_{t_{}}^{}\Phi (t,s)GRAMO\left(s\right){norte}_{}\left(s\right)ds$$ donde$\Phi (t,t_{})$ es la matriz de transición de estado, y el valor de estado en cualquier momento se puede obtener usándolo junto con el valor inicial. Entonces, la cantidad de estado$X\left(t\right)$ y ruido de medición${norte}_{}\left(t\right)$ Correlación entre:
$$\begin{array}{rl}METRO\left\{X\left(t\right){norte}_2^{}\left(t\right)\right\}& =METRO\left\{\Phi (t,t_{})X\left(t_{}\right){norte}_2^{}\left(t\right)+{\int }_{t_{}}^{}\Phi (t,s)GRAMO\left(s\right){norte}_{}\left(s\right)ds{norte}_2^{}\left(t\right)\right\}\\ & =\Phi (t,t_{})M\left\{X\left(t_{}\right){norte}_2^{}\left(t\right)\right\}+{\int }_{t_{}}^{}\Phi (t,s)G\left(s\right)M\left\{{norte}_{}\left(s\right){norte}_2^{}\left(t\right)\right\}ds\\ & =0+{\int }_{t_{}}^{}\Phi (t,s)G\left(s\right)\cdot S_{}\left(t\right)\delta (t-t)ds\\ & =\Phi (t,\tau )GRAMO\left(\tau \right)S_{}\left(t\right),(t_{}\le t\le t\end{array}$$
La tarea del filtro se basa en el valor medido $Y\left(t\right)$ obtiene la cantidad de estadoX ( t ) \mathbf{X}(t)Estimación$X$$($$t$$)$ , y la estimación es insesgada y el error mínimo es el error cuadrático medio.

3. Derivación de fórmulas

(1) Condición de estimación insesgada

Sea el valor estimado del filtro lineal $\hat{X}\left(t\right)$con la definición de
$$\dot{\hat{X}}\left(t\right)=F\left(t\right)\hat{X}\left(t\right)+k_{}\left(t\right)Y\left(t\right)\text{\hspace{1em}( 3 )}$$ Para satisfacer la condición de estimación insesgada,
$$METRO\left\{\hat{X}\left(t\right)\right\}=METRO\left\{X\left(t\right)\right\}=\bar{X}\left(t\right)\text{\hspace{1em}( 4 )}$$ Definamos (3) la ecuación
$$METRO\left\{\dot{\hat{X}}\left(t\right)\right\}=F\left(t\right)M\left\{\hat{X}\left(t\right)\right\}+k_{}\left(t\right)M\left\{Y\left(t\right)\right\}\text{\hspace{1em}( 5 )}$$ Sea ( 2 )$Y\left(t\right)=C\left(t\right)X\left(t\right)+{norte}_{}\left(t\right)$ , en el caso (2) de la ecuación única
$$\begin{array}{rl}METRO\left\{Y\left(t\right)\right\}& =METRO\left\{C\left(t\right)X\left(t\right)+{norte}_{}\left(t\right)\right\}\\ & =METRO\left\{C\left(t\right)X\left(t\right)\right\}+METRO\left\{{norte}_{}\left(t\right)\right\}\\ & =C\left(t\right)\bar{X}\left(t\right)+0\\ & =C\left(t\right)\bar{X}(t\end{array}$$Sustituyendo en la fórmula (5) y según la fórmula (4), tenemos
$$\begin{array}{rl}METRO\left\{\dot{\hat{X}}\left(t\right)\right\}& =F\left(t\right)M\left\{\hat{X}\left(t\right)\right\}+k_{}\left(t\right)M\left\{Y\left(t\right)\right\}\\ & =F\left(t\right)M\left\{\hat{X}\left(t\right)\right\}+k_{}\left(t\right)\cdot C\left(t\right)\bar{X}\left(t\right)\\ & =F\left(t\right)M\left\{\hat{X}\left(t\right)\right\}+k_{}\left(t\right)\cdot C\left(t\right)M\left\{\hat{X}\left(t\right)\right\}\\ & =\left[F\left(t\right)+k_{}\left(t\right)C\left(t\right)\right]\cdot METRO\left\{\hat{X}(t\right)\end{array}\text{\hspace{1em}( 6 )}$$ Por otro lado, tomando la expectativa matemática en ambos lados de la fórmula (1) (considerando que la expectativa de ruido es 0)
$$\dot{\bar{X}}\left(t\right)=Un\left(t\right)\bar{X}\left(t\right)\text{\hspace{1em}( 7 )}$$ Según la fórmula (4), se puede ver que los lados derechos del signo igual en la fórmula (6) y la fórmula (7) deben ser iguales, entonces
$$F\left(t\right)+k_{}\left(t\right)C\left(t\right)=A\left(t\right)$$ o F$$F\left(t\right)=Un\left(t\right)-k_{}\left(t\right)C\left(t\right)\text{\hspace{1em}( 8 )}$$ Fórmula inversa (3) para obtener la estructura del filtro
$$\dot{\hat{X}}\left(t\right)=\left[A\left(t\right)-k_{}\left(t\right)C\left(t\right)\right]\hat{X}\left(t\right)+k_{}\left(t\right)Y\left(t\right)\text{\hspace{1em}( 9 )}$$ Cabe señalar queel valor estimado$\stackrel{El\; valor\; inicial\; de\; ^}{X}$ debe ser lo más cercano posible al valor verdadero, es decir,$\hat{X}\left(t_{}\right)={\bar{X}}^0$ , el filtro es válido en este momento.

(2) Condición de error cuadrático medio de error mínimo

La condición de error cuadrático medio de error mínimo se expresa como
$$METRO\left\{\Vert X{\_}_{}\left(t\right){\Vert }^2\right\}\to \underset{k_{}\left(t\right)}{}$$其中$X_{}\left(t\right)=X\left(t\right)-\hat{X}\left(t\right)$。
不难看出：
$$METRO\left\{\Vert X{\_}_{}\left(t\right){\Vert }^2\right\}=tr\left[D_{}\left(t\right)\right]\text{\hspace{1em}( 10 )}$$ donde$D_{}\left(t\right)$ significa$X\left(t\right)$方差，即$D_{}\left(t\right)=METRO\left\{\left(X-\bar{X}\right){\left(X-\bar{X}\right)}^T\right\}$.
Derivación del error tiene (fórmula usada (2) (9))
$$\begin{array}{rl}{\dot{X}}_{}\left(t\right)& =\dot{X}\left(t\right)-\dot{\hat{X}}\left(t\right)\\ & =\left[A\left(t\right)X\left(t\right)+G\left(t\right){norte}_{}\left(t\right)\right]-\left\{\left[A\left(t\right)-k_{}\left(t\right)C\left(t\right)\right]\hat{X}\left(t\right)+k_{}\left(t\right)Y\left(t\right)\right\}\\ & =A\left(t\right)X\left(t\right)+G\left(t\right){norte}_{}\left(t\right)-Un\left(t\right)\hat{X}\left(t\right)+k_{}\left(t\right)C\left(t\right)\hat{X}\left(t\right)-k_{}\left(t\right)Y\left(t\right)\\ & =Un\left(t\right)\left[X\left(t\right)-\hat{X}\left(t\right)\right]+G\left(t\right){norte}_{}\left(t\right)+k_{}\left(t\right)C\left(t\right)\hat{X}\left(t\right)-k_{}\left(t\right)\left[C\left(t\right)X\left(t\right)+{norte}_{}\left(t\right)\right]\\ & =A\left(t\right)X_{}\left(t\right)+G\left(t\right){norte}_{}\left(t\right)-k_{}\left(t\right){norte}_{}\left(t\right)-k_{}\left(t\right)C\left(t\right)X_{}\left(t\right)\\ & =\left[A\left(t\right)-k_{}\left(t\right)C\left(t\right)\right]X_{}\left(t\right)+G\left(t\right){norte}_{}\left(t\right)-k_{}\left(t\right){norte}_{}\left(t\right)\\ & =\left[A\left(t\right)-k_{}\left(t\right)C\left(t\right)\right]X_{}\left(t\right)+tu\\ & =\tilde{A}\left(t\right)X_{}\left(t\right)+\end{array}\text{\hspace{1em}( 11 )}$$其中
$$tu\left(t\right)=G\left(t\right){norte}_{}\left(t\right)-k_{}\left(t\right){norte}_{}\left(t\right),METRO\left\{tu\left(t\right)\right\}=0$$ y la condición inicial$X_{}\left(t\right)=X\left(t_{}\right)-{\bar{X}}^0$ .

对于$u\left(t\right)$ , su varianza (omitida en la fórmula$\left(t\right)$ para escribir)
$$\begin{array}{rl}METRO\left\{tu\left(t\right){tu}^T\left(\tau \right)\right\}& =METRO\left\{\left[GN{\_}_{}-k_{}{norte}_{}\right]\cdot {\left[GN{\_}_{}-k_{}{norte}_{}\right]}^t\right\}\\ & =METRO\left\{\left[GN{\_}_{}-k_{}{norte}_{}\right]\cdot \left[{norte}_1^{}{GRAMO}^t-{norte}_2^{}{k}_{\varphi }^{}\right]\right\}\\ & =METRO\left\{G{N}_{}{norte}_1^{}{GRAMO}^t-G{N}_{}{norte}_2^{}{k}_{\varphi }^{}-k_{}{norte}_{}{norte}_1^{}{GRAMO}^t+k_{}{norte}_{}{norte}_2^{}{k}_{\varphi }^{}\right\}\\ & =METRO\left\{G{N}_{}{norte}_1^{}{GRAMO}^t\right\}-METRO\left\{G{N}_{}{norte}_2^{}{k}_{\varphi }^{}\right\}-METRO\left\{k_{}{norte}_{}{norte}_1^{}{GRAMO}^t\right\}+METRO\{k_{}{norte}_{}{norte}_2^{}{k}_{\varphi }^{}\end{array}$$由于$METRO\left\{{norte}_{}\left(t\right){norte}_1^{}\left(t\right)\right\}=S_{}\left(t\right)\delta (t-t),METRO\left\{{norte}_{}\left(t\right){norte}_2^{}\left(t\right)\right\}=S_{}\left(t\right)\delta (t-t),METRO\left\{{norte}_{}\left(t\right){norte}_2^{}\left(t\right)\right\}=S_{}\left(t\right)\delta (t-\tau )$ , por lo que la fórmula anterior se convierte en
$$\begin{array}{rl}METRO\left\{tu\left(t\right){tu}^T\left(\tau \right)\right\}& =METRO\left\{G{N}_{}{norte}_1^{}{GRAMO}^t\right\}-METRO\left\{G{N}_{}{norte}_2^{}{k}_{\varphi }^{}\right\}-METRO\left\{k_{}{norte}_{}{norte}_1^{}{GRAMO}^t\right\}+METRO\left\{k_{}{norte}_{}{norte}_2^{}{k}_{\varphi }^{}\right\}\\ & =\left[G{S}_{}{GRAMO}^t-G\left(t\right)S_{}{k}_{\varphi }^{}-k_{}{S}_{}{GRAMO}^t+k_{}{S}_{}{k}_{\varphi }^{}\right]re(t-t\end{array}\text{\hspace{1em}( 12 )}$$

(3) La condición de variación del error.

La siguiente conclusión se da aquí sin prueba :
cuando $\dot{X}\left(t\right)=A\left(t\right)X\left(t\right)+G\left(t\right){norte}_{}\left(t\right)$ , su varianza satisface la siguiente ecuación diferencial
$${\dot{D}}_{}\left(t\right)=A\left(t\right)D_{}\left(t\right)+D_{}\left(t\right)A^T\left(t\right)+G\left(t\right)S_{}\left(t\right){GRAMO}^T\left(t\right)\text{\hspace{1em}( 13 )}$$ Entonces, cuando${\dot{X}}_{}Cuando\; (t)$ tiene la forma de fórmula (11), el error estimado X σ ( t ) \mathbf{X}_\sigma(t) sepuede obtener sustituyendo en la fórmula (13)$X_{}\left(t\right)$ varianza$D_{}\left(t\right)$ satisface la ecuación diferencial:
$$\begin{array}{rl}{\dot{D}}_{}\left(t\right)& =\tilde{A}\left(t\right)D_{}\left(t\right)+D_{}\left(t\right){\tilde{A}}^T\left(t\right)+METRO\left\{tu\left(t\right){tu}^T\left(\tau \right)\right\}/d(t-t)\\ & =\left[Un-k_{}C\right]D_{}+D_{}{\left[Un-k_{}C\right]}^t+\left[G{S}_{}{GRAMO}^t-gs{\_}_{}{k}_{\varphi }^{}-k_{}{S}_{}{GRAMO}^t+k_{}{S}_{}{k}_{\varphi }^{}\right]\\ & =\tilde{A}\left(t\right)D_{}+D_{}{\tilde{A}}^T\left(t\right)+gs{\_}_{}{GRAMO}^t-gs{\_}_{}{k}_{\varphi }^{}-k_{}{S}_{}{GRAMO}^t+k_{}{S}_{}{k}_{\varphi }^{}\end{array}\text{\hspace{1em}( 14 )}$$

(4) $k_{}\left(t\right)$ derivación

现在滤波器的任务转化为求解${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$使得${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t)$最小。可以想到，当方差${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t)$最小时，同样我们也期望方差稳定在该最小值附近不要变化，即其导数${\dot{\mathbf{D}}}_{\sigma \sigma }(t)$同样方差最小。表示为
min ⁡ K ϕ ( t ) { t r [ D σ σ ( t ) ] } → K ~ ϕ ∗ ( t ) max ⁡ K ϕ ( t ) { − t r [ D ˙ σ σ ( t ) ] } → K ~ ~ ϕ ∗ ( t ) \min_{ \mathbf{K}_\phi(t) } \left\{ {\rm tr} \left[ \mathbf{D}_{\sigma \sigma} (t) \right] \right\} \rightarrow \tilde{ \mathbf{K} }_\phi^* (t) \\ \max_{ \mathbf{K}_\phi(t) } \left\{ {\rm -tr} \left[ \dot{ \mathbf{D} }_{\sigma \sigma} (t) \right] \right\} \rightarrow \tilde{ \tilde{ \mathbf{K} } }_\phi^* (t) Kϕ​(t)min​{ tr[Dσσ​(t)]}→K~ϕ∗​(t)Kϕ​(t)max​{ −tr[D˙σσ​(t)]}→K~~ϕ∗​( t ) Dado que$k_{}\left(t\right)$ es único, 故
$${\tilde{k}}_{\varphi }^{}\left(t\right)={\widetilde{\stackrel{~}{k}}}_{\varphi }^{}\left(t\right)$$ Con el conocimiento del método variacional y refiriéndose a la ecuación de Euler (no sé cómo obtenerla aquí),$k_{}\left(t\right)$满足
$$\frac{}{\partial K{\_}_{}\left(t\right)}tr\left[{\dot{D}}_{}\left(t\right)\right]=0\text{\hspace{1em}( 15 )}$$

(5) Derivación de la traza de la matriz

Para una solución (15), es necesario resolver el problema de una solución simple:
$$\begin{gathered} \frac{\partial tr(porque{P.}^T}{\partial P\_}=PAG\left(Q+q^T\right) \\ \frac{\partial tr(PQ}{\partial Q\_}={PAG}^t \\ \frac{\partial tr(QP}{\partial Q\_}={PAG}^t \\ \frac{\partial tr(P{Q}^T}{\partial Q\_}=PAG \\ \frac{\partial tr\left(Q^{TP}\right)}{\partial Q\_}=P \end{gathered}$$ se refiere a los elementos del lado derecho de la fórmula (14) y primero obtiene la derivada de la traza de los siguientes elementos:
$$\begin{gathered} \frac{\partial tr(Un-k_{}C}{\partial K{\_}_{}}=\frac{\partial tr(Un}{\partial K{\_}_{}}-\frac{\partial tr(k_{}C}{\partial K{\_}_{}}=0-C^t=-C{\_}^t \\ \frac{\partial tr(k_{}{S}_{}{k}_{\varphi }^{}}{\partial K{\_}_{}}=k_{}\left(s_{}+S_2^{}\right)=2K{\_}_{}{S}_{} \\ \frac{\partial tr\left(G\right(t)S_{}{k}_{\varphi }^{}}{\partial K{\_}_{}}=G\left(t\right)S_{} \\ \frac{\partial tr(k_{}{S}_{}{GRAMO}^T}{\partial K{\_}_{}}={\left[S_{}{GRAMO}^T\right]}^t=G\left(t\right)S_{} \end{gathered}$$Sustituyendo todas las fórmulas anteriores en la ecuación diferencial (15), se puede resolver para obtener
$$k_{\varphi }^{}\left(t\right)=\left[D_{}\left(t\right)C^T\left(t\right)+G\left(t\right)S_{}\left(t\right)\right]S_2^{-}\left(t\right)\text{\hspace{1em}( 16 – 1 )}$$

(6) Caso especial entre dos ruidos

Todas las derivaciones anteriores se basan en el punto (2) de la Sección 2: ${norte}_{}\left(t\right)$与${norte}_{}\left(t\right)$相关，即$METRO\left\{{norte}_{}\left(t\right){norte}_2^{}\left(t\right)\right\}=S_{}\left(t\right)\delta (t-\tau )$ . Sin embargo, uno de estos dos ruidos es ruido del sistema y el otro es ruido de medición, que a menudo son irrelevantes en la práctica.

Cuando los dos no están correlacionados, $METRO\left\{{norte}_{}\left(t\right){norte}_2^{}\left(t\right)\right\}=0$，即${\mathbf{S}}_3(t)=0$。在这种特殊情况下，式(16 – 1)具有较为理想的特殊形式
$${\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }(t)={\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t){\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}(t){\mathbf{S}}_2^{-1}(t)\text{\hspace{1em}(16 – 2)}$$式(16 – 1)和(16 – 2)即为所求得的最优Kalman-Bucy滤波器表达式。

最后，将式(16 – 1)反代回式(14)，以求得不显含${\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }\left(t\right)$ Varianza del error$D_{}\left(t\right)$ satisface la ecuación diferencial:
$$\begin{array}{rl}{\dot{D}}_{}\left(t\right)& =\left[Un-k_{\varphi }^{}C\right]D_{}+D_{}{\left[Un-k_{\varphi }^{}C\right]}^t+\left[G{S}_{}{GRAMO}^t-gs{\_}_{}{k}_{\varphi }^{\ast }-k_{\varphi }^{}{S}_{}{GRAMO}^t+k_{\varphi }^{}{S}_{}{k}_{\varphi }^{\ast }\right]\\ & =\left\{Un-\left[D_{}{C}^t+gs{\_}_{}\right]S_2^{-}\cdot C\right\}{D}_{}+D_{}{\left\{Un-\left[D_{}{C}^t+gs{\_}_{}\right]S_2^{-}\cdot C\right\}}^t+\\ & +gs{\_}_{}{GRAMO}^t-gs{\_}_{}{\left\{\left[D_{}{C}^t+gs{\_}_{}\right]S_2^{-}\right\}}^t-\left[D_{}{C}^t+gs{\_}_{}\right]S_2^{-}\cdot S_{}{GRAMO}^t\\ & +\left[D_{}{C}^t+gs{\_}_{}\right]S_2^{-}\cdot S_{}\cdot k_{\varphi }^{\ast }{\left\{\left[D_{}{C}^t+gs{\_}_{}\right]S_2^{-}\right\}}^t\\ & =\left(Un-gs{\_}_{}{S}_2^{-}c\right)D_{}+D_{}{\left(Un-gs{\_}_{}{S}_2^{-}c\right)}^t-D_{}{C}^{ts}{\_}_2^{-}CD{\_}_{}+GRAMO\left(s_{}-S_{}{S}_2^{-}{S}_{}\right){GRAMO}^{}\end{array}\text{\hspace{1em}( 17 – 1 )}$$当${norte}_{}\left(t\right)$与${norte}_{}\left(t\right)$ S 3 ( t ) = 0 \mathbf{S}_3(t)=0cuando no hay correlación$S_{}\left(t\right)=0$ ,excepto
$${\dot{D}}_{}\left(t\right)=un{re}_{}+D_{}{A}^t-D_{}{C}^{ts}{\_}_2^{-}CD{\_}_{}+gs{\_}_1{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\text{\hspace{1em}(17 – 2)}$$至此，式(17 – 1)和(17 – 2)给出了不含${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$的估计误差方差${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t)$表达式。

(7) 滤波器的结论

式(16)给出了最优Kalman-Bucy滤波器的表达式${\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }(t)$。

a) Kalman-Bucy滤波器具有式(9)的形式，它利用测量值$\mathbf{Y}(t)$可以求出状态量$\mathbf{X}(t)$的真值。
b) 由式(9)可以看出，在这个过程中需要用到状态矩阵$\mathbf{A}(t)$和测量矩阵$\mathbf{C}(t)$，二者可以在参数估计或参数识别的前提下获得。
c) 利用式(17)，可以直接基于状态矩阵$\mathbf{A}(t)$、测量矩阵$\mathbf{C}(t)$与两个噪声的方差分布矩阵${\mathbf{S}}_i(t)$计算出估计误差${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }$，而绕开${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$的计算。
d) 在计算出${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }$Después de eso, sustituyendo en la fórmula (16), se puede calcular $k_{}\left(t\right)$ , y luego la estructura del filtro de Kalman-Bucy se obtiene como fórmula (9). e) El valor de estado estimado X ^ ( t ) \hat{ \mathbf{X} }(t)
calculado mediante la fórmula (9)$\hat{X}\left(t\right)$puede satisfacer la estimación insesgada y minimizar el error cuadrático medio del error de estimación.
f) Condiciones que no se pueden ignorar: todo lo anterior se basa en dos fundamentos principales: uno es la matriz de estados$A\left(t\right)$ y matriz de medición$La\; estimación\; de\; C\left(t\right)$ es lo suficientemente precisa, lo que plantea requisitos más altos para la identificación de parámetros; el segundo es el valor estimado$\stackrel{El\; valor\; inicial\; de\; ^}{X}\left(t\right)$debe estimarse con precisión, es decir, el resultado se ve muy afectado por el valor inicial.
g) Pasos para filtrar el estado usando el filtro de Kalman-Bucy: identificación de parámetros para obtener el modelo del sistema$Un\left(t\right),C\left(t\right)$ —— Varianza del error D σ σ \mathbf{D}_{\sigma \sigma}calculada según la fórmula (17)$D_{}$—— 将$D_{}$Sustituyendo la fórmula (16) para calcular la matriz de coeficientes óptima K del filtro $k_{\varphi }^{}\left(t\right)$ , la matriz puede satisfacer el valor de estimación de estado insesgado y el error cuadrático medio del error mínimo. Utilice la fórmula (9) para construir el filtro de Kalman-Bucy y resuelva el valor de estimación de estado X ^ ( t ) \hat{$\hat{X}\left(t\right)$。