1. Algunos conceptos básicos
1. Ruta : La rama de un nodo a otro en el árbol constituye la ruta entre estos dos nodos.
2. Longitud de la ruta : el número de ramas en la ruta se denomina longitud de la ruta.
3. La longitud de la ruta del árbol : la suma de la longitud de la ruta desde la raíz del árbol hasta cada nodo.
4. Derecha : Una cantidad asignada a una entidad es una descripción numérica de algunos o algunos atributos de la entidad.
5. La longitud de la ruta ponderada del nodo: el producto de la longitud de la ruta desde el nodo hasta la raíz del árbol y el peso en el nodo.
6. La longitud de la ruta ponderada del árbol: la suma de las longitudes de la ruta ponderada de todos los nodos de hojas del árbol, generalmente registrada como:
7. Árbol de Huffman : suponga que hay m pesos {w1, w2, ..., wm} , Se puede construir un árbol binario con n nodos de hoja y el peso de cada nodo de hoja es wi El árbol binario con la longitud de ruta ponderada más pequeña WPL se denomina árbol binario óptimo o árbol de Huffman.
Nota:
(1) Un árbol binario completo no es necesariamente un árbol de Huffman;
(2) El nodo con un peso mayor está más cerca del nodo raíz;
(3) El árbol de Huffman no es único, pero la longitud de la ruta ponderada del árbol es cierto igual;
En segundo lugar, construya el árbol de Huffman
Estructura del nodo del árbol de Huffman:
representación de almacenamiento del árbol de Huffman
typedef struct{
int weight; //结点的权值
int parent,lchild,rchild; //结点的双亲、左孩子、右孩子的下标
}HTNode,*HuffmanTree; //动态分配数组存储哈夫曼树
Número de nodos del árbol de Huffman:
Ejemplo: Dado que w = (5,29,7,8,14,23,3,11), genere un árbol de Huffman y calcule la longitud de la ruta ponderada del árbol. Y dar el estado inicial y el estado final de la estructura de almacenamiento HT durante su construcción.
【Descripción del algoritmo】
void CreateHT(HuffmanTree &HT,int n)
{
if(n<=1)return ;
m=2*n-1;
HT=new HTNode[m+1];
for(i=1;i<=m;++i) //将1-m号单元的父结点、左孩子、右孩子的下标都初始化为0
{
HT[i].parent=0;
HT[i}.lchild=0;
HT[i}.rchild=0;
}
for(i=1;i<=n;++i) //输入前n个结点的权值
{
cin>>HT[i].weight;
}
for(i=n+1;i<=m;++i)
{
//通过n-1次的选择、删除、合并来创建哈夫曼树
Select(HT,i-1,s1,s2);
//在HT[k](1<=k<=i-1)中选择两个其双亲域为0且权最小的结点，并返回他们在HT中的序号s1和s2
HT[s1}.parent=i;
HT[s2}.parent=i;
//得到新结点i，从森林中删除s1,s2，将s1和s2的双亲域由0改为1
HT[i].lchild=s1; //s1作为i的左结点
HT[i}.rchild=s2; //s2作为i的右结点
HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight; //i的权值为左右孩子权值之和
}
Tres, codificación de Huffman
Marque la rama izquierda del árbol como 0 y la rama derecha como 1; (izquierda 0 y derecha 1)
| derecho | Codificación de Huffman |
|---|---|
| 5 | 0 0 0 0 |
| 3 | 0 0 0 1 |
| 11 | 0 0 1 |
| 23 | 0 1 |
| 29 | 1 0 |
| 14 | 1 1 1 |
| 7 | 1 1 0 0 |
| 8 | 1 1 0 1 |
Cuarto, la creación del árbol Huffman.
Requisitos:
1. Ingrese ny la probabilidad de n caracteres desde el teclado.
Por ejemplo: se sabe que solo n tipos de caracteres pueden aparecer en un determinado sistema de comunicación, y sus probabilidades son respectivamente 0.05, 0.29, 0.07, 0.08, 0.14, 0.23, 0.03, 0.11. Intente diseñar un código Huffman para crear un árbol de Huffman.
2. Utilice almacenamiento secuencial.
#include<iostream>
using namespace std;
//哈夫曼树的存储结构
typedef struct {
int weight; //结点的权重
int parent, lchild, rchild; //结点的双亲、左孩子、右孩子的下标
}HTNode,*HuffmanTree;
//封装两个最小结点
typedef struct {
int s1;
int s2;
}MIN;
//选择双亲为0且结点权值最小的两个结点
MIN Select(HuffmanTree HT, int n)
{
int min, secmin,s1,s2;
min = 10000;
secmin = 10000;
MIN code;
s1 = 1; s2 = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (HT[i].parent == 0 && (HT[i].weight<min))
{
min = HT[i].weight;
s1 = i;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (HT[i].parent == 0 && (HT[i].weight<secmin) && (i != s1))
{
secmin = HT[i].weight;
s2 = i;
}
}
code.s1 = s1;
code.s2 = s2;
return code;
}
//创造哈夫曼树
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree &HT, int num)
{
int m;
m = 2 * num - 1;
HT = new HTNode[m + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
HT[i].parent = 0;
HT[i].lchild = 0;
HT[i].rchild = 0;
}
cout << "请输入每个叶子结点的权值：" << endl;
for (int i = 1; i <= num; i++)
{
cin >> HT[i].weight;
}
for (int i = num + 1; i <= m; i++)
{
MIN min;
min=Select(HT,i-1);
HT[min.s1].parent = i;
HT[min.s2].parent = i;
HT[i].lchild = min.s1;
HT[i].rchild = min.s2;
HT[i].weight = HT[min.s1].weight + HT[min.s2].weight;
}
//输出哈夫曼树存储结构的末态
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
cout << "结点序号 " << i << " 权重 " << HT[i].weight << " parent " << HT[i].parent << " lchild " << HT[i].lchild << " rchild " << HT[i].rchild << endl;
}
}
int main()
{
cout << "开始创建哈夫曼树" << endl;
int num; //结点的个数
cout << "请输入哈夫曼树叶子结点的个数：";
cin >> num;
//创造哈夫曼树
HuffmanTree HT;
CreateHuffmanTree(HT, num);
return 0;
}