Probabilidad y distribución de probabilidad
La probabilidad es un valor numérico que mide la probabilidad de ocurrencia accidental. Suponga que después de repetidas pruebas (representadas por X), los eventos accidentales (representados por A) ocurrieron varias veces (representados por Y). Con X como denominador e Y como numerador, se forma un valor numérico (representado por P). En muchos experimentos, P es relativamente estable en un cierto valor, y P se llama la probabilidad de que aparezca A. Si la probabilidad de un evento accidental se determina mediante la observación a largo plazo o un gran número de ensayos repetidos, entonces esta probabilidad es probabilidad estadística o probabilidad empírica.
La disciplina que estudia las leyes internas que rigen los incidentes se llama teoría de la probabilidad. Pertenece a una rama de las matemáticas. La teoría de la probabilidad revela la manifestación de leyes internas contenidas en fenómenos accidentales. Por lo tanto, la probabilidad tiene un efecto importante en la comprensión de las personas de los fenómenos naturales y sociales.
Definición clásica de probabilidad
Si una prueba satisface dos:
(1) La prueba tiene solo un número limitado de resultados básicos;
(2) La probabilidad de cada resultado básico de la prueba es la misma.
Tal experimento es un experimento clásico.
Para el evento A en un experimento clásico , su probabilidad se define como :, donde n representa el número total de todos los resultados básicos posibles en el experimento. m representa el número de resultados de prueba básicos incluidos en el Evento A. Este método de definición de probabilidad se denomina definición clásica de probabilidad.
Las probabilidades clásicas se limitan al rango de ensayos aleatorios con solo un número limitado de resultados posibles, lo que limita su aplicación. Por lo tanto, las personas han propuesto un método para determinar la probabilidad de un evento basado en la frecuencia de ensayos repetidos, es decir, la definición estadística de probabilidad.
Definición estadística de probabilidad
En las mismas condiciones, una prueba aleatoria n veces, un evento A aparece m veces ( ), luego la relación se
llama frecuencia del evento A. A medida que n aumenta, la frecuencia fluctúa hacia arriba y hacia abajo alrededor de una constante p, y la amplitud de la fluctuación disminuye gradualmente y tiende a estabilizarse. El valor estable de esta frecuencia es la probabilidad del evento, que se registra como:
Ejemplos:
Eventos aleatorios y sus probabilidades.
Los eventos que pueden o no ocurrir bajo ciertas condiciones se llaman eventos aleatorios.
Por lo general, un evento en un experimento consta de eventos básicos. Si hay n resultados posibles en un experimento, es decir, el experimento está compuesto por n eventos básicos, y todos los resultados son igualmente probables, entonces dicho evento se llama evento igual.
Eventos mutuamente excluyentes: dos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente se denominan eventos mutuamente excluyentes.
Eventos opuestos: es decir, debe haber un evento mutuamente exclusivo llamado evento opuesto.
En un experimento aleatorio específico, cada resultado posible se denomina evento básico , y el conjunto de todos los eventos básicos se denomina espacio básico.
Los eventos aleatorios (denominados eventos) se componen de algunos eventos básicos, por ejemplo, en una prueba aleatoria de lanzar dos dados seguidos, Z e Y se utilizan para indicar el número de puntos para la primera y segunda aparición, respectivamente. Valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, cada punto (Z, Y) representa un evento básico, por lo que el espacio básico contiene 36 elementos. "La suma de puntos es 2" es un evento, que se compone de un evento básico (1, 1), que puede representarse mediante el conjunto {(1, 1)}, "La suma de puntos es 4" también es un evento, que es (1 , 3), (2, 2), (3, 1) se compone de 3 eventos básicos, que pueden representarse mediante el conjunto {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}.
Si la "suma de puntos es 1" también se considera como un evento, es un evento que no contiene ningún evento básico y se denomina evento imposible . P (evento imposible) = 0.
Este evento no puede suceder en el experimento. Si la "suma de puntos es inferior a 40" se considera como un evento, contiene todos los eventos básicos. Este evento debe ocurrir en la prueba, que se denomina evento inevitable . P (evento necesario) = 1. En la vida real, necesitamos estudiar varios eventos y sus relaciones, varios subconjuntos de elementos en el espacio básico y sus relaciones, etc.
Variable aleatoria discreta y su distribución.
Definición de variables aleatorias
La variable aleatoria (variable aleatoria) representa una función de un solo valor real de varios resultados de experimentos aleatorios. Los eventos aleatorios pueden cuantificarse independientemente de si están directamente relacionados con la cantidad, es decir, pueden expresarse de manera cuantificada. En pocas palabras, las variables aleatorias se refieren al número de eventos aleatorios . Por ejemplo, el número de puntos que aparecen cuando se tira un dado, el número de llamadas recibidas por la central telefónica dentro de un cierto período de tiempo, la altura de una persona verificada al azar, el desplazamiento de partículas suspendidas en un líquido en una determinada dirección, etc.son variables aleatorias Ejemplos.
Al hacer experimentos, a menudo es relativo a los resultados de la prueba en sí, y todavía estamos interesados principalmente en algunas funciones de los resultados. Por ejemplo, cuando lanzamos un dado, a menudo nos preocupamos por los puntos y números de los dos dados, y realmente no nos importa el resultado real, es decir, podemos preocuparnos por el punto y el número es 7, pero no el verdadero Si el resultado es (1, 6) o (2, 5) o (3, 4) o (4, 3) o (5, 2) o (6, 1). Las cantidades en las que nos enfocamos, o más formalmente, estas funciones de valor real definidas en el espacio muestral se denominan variables aleatorias.
Debido a que el valor de la variable aleatoria está determinado por los resultados de la prueba, podemos asignar probabilidades a los posibles valores de la variable aleatoria.
Las variables aleatorias se pueden dividir en variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.
Discreto
La variable aleatoria discreta (discreta) significa que el valor de la variable es limitado o contable dentro de cierto intervalo.
Por ejemplo, el número de nacimientos y muertes de la población en un área determinada en un año determinado, el número efectivo y el número ineficaz de pacientes tratados con un medicamento determinado para una enfermedad determinada, etc.
Las variables aleatorias discretas generalmente se clasifican de acuerdo con la función de masa de probabilidad, divididas principalmente en: variables aleatorias de Bernoulli, variables aleatorias binomiales, variables aleatorias geométricas y variables aleatorias de Poisson.
La
variable aleatoria de tipo continuo (continuo) significa que hay un número infinito de variables en un determinado intervalo, o que los valores no se pueden enumerar uno por uno.
Por ejemplo, los valores de longitud y peso de hombres adultos sanos en un área determinada, y los valores medidos de la transaminasa sérica en un grupo de pacientes con hepatitis infecciosa.
Existen varias variables aleatorias continuas importantes que a menudo aparecen en la teoría de la probabilidad, como las variables aleatorias uniformes, las variables aleatorias exponenciales, las variables aleatorias gamma y las variables aleatorias normales.
Distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas
Expectativa y varianza de variables aleatorias discretas
Distribución común de variables aleatorias discretas
- Distribución 0-1
- Distribución binomial (distribución de Bernoulli)
- Distribución de Poisson
Distribución 0-1
Las variables aleatorias solo pueden tomar dos valores, 0 y 1. Su ley de distribución es:
O desmontar y escribir como
La tabla de leyes de distribución es:
Distribución binomial (distribución de Bernoulli)
La distribución de Bernoulli se refiere a la variable aleatoria X, el parámetro es p (0 <p <1), si toma la probabilidad py 1-p para tomar 1 y 0 como valores. EX = p, DX = p (1-p). El número de pruebas exitosas de Bernoulli sigue la distribución de Bernoulli, y el parámetro p es la probabilidad de éxito. La distribución de Bernoulli es una distribución de probabilidad discreta, que es un caso especial de la distribución binomial en N = 1. Se nombra en honor del científico suizo James Bernoulli (James Bernoulli o James Bernoulli).
Prueba de Bernoulli
Si una secuencia infinita de variables aleatorias ......,
son independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d.), y cada variable aleatoria
están sujetos a los parámetros de
distribución de Bernoulli, a continuación, la variable aleatoria
......,
los parámetros de formación
de una serie de Prueba de Bernoulli. Del mismo modo, si
una variable aleatoria
... se
distribuye de forma independiente e idéntica, y todos obedecen
la distribución de Bernoulli con el parámetro , entonces la variable aleatoria
...,
forma
una
prueba de Bernoulli pesada con el parámetro .
Aquí hay algunos ejemplos para ilustrar, suponiendo que se arroje una moneda uniforme repetidamente. Si aparece el lado positivo en el primer lanzamiento, el orden
; si aparece el reverso, el orden
, entonces, la variable aleatoria
...,
formando
una serie de Bernoulli con parámetros prueba, del mismo modo, supongamos que una máquina en particular por el 10% de las piezas producidas son defectuosos, seleccionados al azar
una observación, si los primeros
uno piezas defectuosas, de modo que
, si ningún defecto, de modo que
, a continuación, la variable aleatoria
......,
formado parámetro es
el
peso de ensayo de Bernoulli.
Distribución de Poisson
Los posibles valores de las variables aleatorias son 0,1,2, ⋅⋅⋅, y la probabilidad de tomar cada valor es:
Entre ellos está la expectativa matemática o la varianza de la distribución de Poisson (la expectativa matemática y la varianza de la distribución de Poisson son iguales, ambas son iguales a los parámetros
), luego se dice que
obedece
la distribución de Poisson con el parámetro , registrado como:
~
.
La distribución de Poisson tiene solo un parámetro .
Distribución de probabilidad de variables aleatorias continuas
Debido a que las variables aleatorias continuas pueden tomar cualquier valor en un determinado intervalo o en este eje de número real, no podemos enumerar cada valor y su probabilidad correspondiente como variables aleatorias discretas, pero debemos usar otros métodos, generalmente matemáticos Se describen funciones y funciones de distribución. Cuando se utiliza una función para representar una variable aleatoria continua, la
llamaremos función de densidad de probabilidad (Función de densidad de probabilidad).
Cabe señalar que no es una probabilidad, es decir
, se
llama función de densidad de probabilidad, pero
es cero bajo la condición de distribución continua. En el caso de la distribución continua, el área debajo de la curva representa la probabilidad, por ejemplo, la probabilidad de la variable aleatoria X entre a y b se puede escribir como:
Es decir, el área sombreada en la figura a continuación:
Las expectativas y las variaciones de las variables aleatorias continuas se definen como:
Distribución de variables aleatorias continuas:
- Distribuido uniformemente
- Distribución exponencial
- Distribución normal
Distribuido uniformemente
Distribución exponencial
Distribución normal
El valor esperado de la distribución normal determina su posición, y su desviación estándar
determina la amplitud de la distribución.Como se puede ver en la fórmula del valor máximo, cuanto
más pequeña se vuelve la gráfica, más nítida es y, por lo tanto, mayor es la probabilidad de
caer en la
vecindad.
