Notas de estudio de teoría de la probabilidad y estadística matemática (7): fórmula de probabilidad total y fórmula bayesiana

1. Antecedentes

La siguiente imagen es el contenido de fondo de este artículo: el pequeño B tiene un 80% de probabilidad de jugar juegos móviles y un 20% de probabilidad de jugar juegos de computadora durante su tiempo libre. Ambos juegos tienen un proceso de sorteo de cartas: la probabilidad de sacar una carta dorada en el juego móvil es del 5% y la probabilidad de sacar una carta dorada en el juego del cliente es del 15%. Se sabe que el pequeño B sacó la tarjeta dorada hoy, entonces, ¿la sacó en su teléfono móvil o en su computadora?

2. Fórmula de probabilidad total

En la pregunta anterior, primero consideramos la probabilidad de que Little B saque la carta dorada. Supongamos que la probabilidad de jugar en la computadora es $P\left(c\right)$ , la probabilidad de jugar en el teléfono móvil es$P\left(p\right)$ , la probabilidad de sacar una carta dorada es$PAG\left(v\right)$ :

• Si Little B es una carta dorada extraída en la computadora, entonces su probabilidad es $P\left(c\right)P(v|c)$ es la probabilidad de jugar en la computadora multiplicada por la probabilidad de sacar una carta dorada en la computadora.
• Si Little B es la tarjeta dorada extraída en el teléfono móvil, entonces su probabilidad es $P\left(p\right)P(v|p)$ es la probabilidad de jugar en el teléfono móvil multiplicada por la probabilidad de sacar una carta dorada en el teléfono móvil.

Las dos fórmulas anteriores calculan la probabilidad de sacar una tarjeta dorada en el teléfono móvil y la probabilidad de sacar una tarjeta dorada en la computadora, respectivamente, luego la suma de las dos es la probabilidad de que Little B saque la tarjeta dorada, es decir: P ( v ) $P\left(v\right)=P\left(c\right)P(v|c)+P(p\left)P\right(v|p)$ . Esta esla fórmula de probabilidad total, que simplemente significa la probabilidad de que el evento ocurra en todas las circunstancias posibles.

Es más intuitivo utilizar un diagrama para representarlo: como se muestra en la figura siguiente, es un cuadrado con un largo y ancho de 1, y su área representa la posibilidad de que ocurran todos los eventos. Jugar en la computadora ocupa el 20% del área y jugar en el teléfono móvil ocupa el 80% del área; jugar en la computadora y obtener una tarjeta dorada ocupa el 15% del área para jugar en la computadora; jugar en El teléfono móvil y obtener una tarjeta dorada ocupa el 15% del área para jugar en el teléfono móvil, el 5% del área.

Entonces la probabilidad de sacar una carta dorada es:

3. Fórmula bayesiana

Después de conocer la fórmula de probabilidad total, es fácil entender la fórmula de Bayes. La fórmula bayesiana se basa en la situación en la que ya conocemos el resultado, es decir, cuando sabemos que el pequeño B ha sacado la carta dorada, podemos inferir la probabilidad de que el pequeño B saque la carta dorada jugando en la computadora y la probabilidad. probabilidad de sacar la carta dorada jugando en el teléfono móvil.

Entonces, la probabilidad de obtener una tarjeta dorada al jugar juegos de computadora se puede expresar gráficamente como:

La fórmula matemática es:
$$PAG(c|v)=\frac{P\left(c\right)P(v|c}{P\left(v\right)}$$

De la misma manera, la probabilidad de obtener una tarjeta dorada al jugar en teléfonos móviles se puede expresar gráficamente como:

La fórmula matemática es:
$$PAG(pag|v)=\frac{P\left(p\right)P(v|p}{P\left(v\right)}$$

Aquí $P(p|v)$ y$P(c|v)$ se llama probabilidad posterior (posterior), es decir, conocemos el resultado y la probabilidad de que ocurra el proceso de inversión;$P\left(c\right)$ y$P\left(p\right)$ se llama probabilidad previa (prior), es decir, aún no conocemos la situación posterior, pero sí conocemos la posibilidad de que ocurra el evento anterior; P ( v ∣ c )$P(v|c)$ y$P(p|c)$ se llama probabilidad, es decir, la posibilidad de que ocurra un evento en una situación determinada.