基的判断

基的判断

$m$ 维空间中任意 $m$ 个向量的向量组 $V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_m})$ 如何判断其是否为基，这些线性代数一个核心问题。可以从几何和代数两个方面考虑。

几何上，向量组张成整个空间，所以能张成整个空间的向量组就是基。具体判断（或想象，因为三维以上空间只能想象）如下，向量组有 $m$ 个向量，可以向一个空集每次只增加一个向量，集合每增加一个向量后，判断集合内向量组是否能张成“完整”子空间，如果不能，则不是基。比如第一个向量肯定可以张成完整的一维子空间（直线）；增加第二个向量时，如果该向量与第一个向量共线，则集合不能张成“完整”二维子空间（平面），则向量组不是基，判断结束。如果该向量与第一个向量不共线，则继续增加一个向量。第三个向量如与前两个共面，则集合不能张成“完整”三维子空间，则向量组不是基，判断结束。如不共面，则继续增加一个向量，依次进行，直到取完所有向量。只有当最后一个向量加入后，能张成“完整”空间，向量组才是基。

基按照上述方式看的话，每次增加的向量都不位于集合所处的子空间内，有“张角”， $m$ 个向量完整地张开了整个空间，广义体积不为0！如果 $m$ 个向量不是基，则必有某个向量“躺在”集合所处的子空间内，不能完整地张开整个空间，广义体积为0。 这种几何图像对后面理解矩阵可逆和行列式非常关键！

这种方法只适合二维空间，三维空间必须借助计算机辅助绘图，才能观察到，但思想很重要。

代数上，通过判断向量组表示 $\mathbf{0}$ 向量时，是否只有唯一全0表示，如果是，则是基，否则非基。这最后会归结于求线性方程的零解。 $m$ 维空间向量相等需每个分量相等，每个分量可得到一个方程， $m$ 个分量得到 $m$ 个方程。 $m$ 个向量，所以表示系数有 $m$ 个，是 $m$ 元方程。低元方程可用初中学过的变量代入消元法求解，高元方程用高斯消元法求解，后面有专门章节介绍。代数法的好处是可以判断任意维度空间的向量组是否为基，代数是工具。线性代数很多问题最后都要归结于计算问题，计算只是工具，几何才是灵魂。

$m$ 维空间中 $m$ 个向量的向量组 $V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_m})$ ，其线性组合表示 $\mathbf{0}$ 向量为
$\mathbf{0} =\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_m\mathbf{v_m}$
这时必须把向量拆开，看到每个分量才能解方程。令 $\mathbf{v_i} = (\mathbf{V_{i1}},\cdots,\mathbf{V_{ij}},\cdots,\mathbf{V_{im}})$ ，即第 $j$ 个分量为 $\mathbf{V_{ij}}$ 。根据向量数乘、加法和相等规则，可得
$\alpha_1\mathbf{V_{11}}+\cdots+\alpha_i\mathbf{V_{i1}}+\cdots+\alpha_m\mathbf{V_{m1}} = 0 \\ \alpha_1\mathbf{V_{12}}+\cdots+\alpha_i\mathbf{V_{i2}}+\cdots+\alpha_m\mathbf{V_{m2}} = 0 \\ \vdots \\ \alpha_1\mathbf{V_{1m}}+\cdots+\alpha_i\mathbf{V_{im}}+\cdots+\alpha_m\mathbf{V_{mm}} = 0$
$m$ 个方程 $m$ 个未知数。注意与未知数 $\alpha_i$ 相乘的系数只有向量 $\mathbf{v_i}$ 的分量。

例如，二维空间中，向量组 $\mathbf{V} = (\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}), \mathbf{v_1} = (1,2)$ 和 $\mathbf{v_2} = (3,4)$ ，对应方程为
$1\alpha_1+3\alpha_2 = 0 \\ 2\alpha_1+4\alpha_2 = 0 \\$

只有唯一0解，向量组是基。

例如，三维空间中，向量组 $\mathbf{V} = (\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3}), \mathbf{v_1} = (1,2,3)$ ， $\mathbf{v_2} = (4,5,6)$ 和 $\mathbf{v_3} = (10,14,18)$ 对应方程为
$1\alpha_1+4\alpha_2+10\alpha_3 = 0 \\ 2\alpha_1+5\alpha_2+14\alpha_3 = 0 \\ 3\alpha_1+6\alpha_2+18\alpha_3 = 0$

有非0解 $(2,2,-1)$ ，向量组不是基。

无关组是基的子集，判断 $n < m$ 个向量是否为无关组，方法完全相同！几何上，只有整个向量组能张成“完整”子空间（“完整”子空间维度等于向量数量），向量组才是无关组。代数上，通过判断向量组表示 $\mathbf{0}$ 向量时，是否只有唯一全0表示，只不过未知数只有 $n$ 个。

例如，三维空间中，向量组 $\mathbf{v_1} = (1,2,3)$ ， $\mathbf{v_2} = (4,5,6)$ 对应方程为
$1\alpha_1+4\alpha_2 = 0 \\2\alpha_1+5\alpha_2 = 0 \\3\alpha_1+6\alpha_2 = 0$

只有唯一0解，向量组是无关组。