例题：错误判断是否带截距项会怎样？

• 误加截距项的情况
  真实模型 $Y_i=\beta_1 X_i+\mu_i$
  但却拟合了一个带截距项的模型
  $Y_i=\alpha_0+\alpha_1X_i+v_i$
  这里的误设主要是增加了一个常数项，即出现的是增加无关变量的错误（相当于增加了一个取值恒为1的变量）。其后果是估计量虽然无偏且一致，但方差并不具有最小性。
  对于误设的模型
  $\hat \alpha_1=\frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}$
  将真实模型离差形式 $y_i=\beta_1+\mu_i-\overline \mu$代入上式
  $\hat\alpha_1=\frac{\sum x_i(\beta_1 x_i+\mu_i-\overline \mu)}{\sum x_i^2}=\beta_1+\frac{\sum x_i\mu_i}{\sum x_i^2}$
  $E(\hat\alpha_1)=\beta_1+\frac{\sum x_i}{\sum x_i^2}E(\mu_i)=\beta_1$
  所以 $\hat\alpha_1$无偏。
  对于 $\hat\alpha_2$
  $\hat\alpha_0=\overline Y-\hat\alpha_1 \overline X$
  将真实模型 $\overline Y=\beta_1\overline X+\overline \mu$代入得

$\hat\alpha_0=\beta_1\overline X+\overline \mu-\hat\alpha_1 \overline X$
易得 $E(\hat\alpha_0)=0$,所以 $\hat\alpha_0$也无偏。

• 遗漏截距项的情况
  对于过原点回归
  $\hat\beta_1=\frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}$
  将真实模型 $Y_i=\alpha_0+\alpha_1X_i+v_i$代入上式
  $\hat\beta_1=\frac{\sum X_i (\alpha_0+\alpha_1X_i+v_i)}{\sum X_i^2}=\alpha_1+\alpha_0\frac{\sum X_i}{\sum X_i^2+\frac{\sum X_i \mu_i}{\sum X_i^2}}$
  $E(\hat\beta_1)=\alpha_1+\alpha_0\frac{\sum X_i}{\sum X_i^2}$
  可以看出在遗漏一个相关变量（这里相当于遗漏一个取值恒为1的变量），OLS估计量有偏。